2020-2021学年福建省泉州市高三5月二模数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页福建省泉州市2020-2021学年高三5月二模数学试题一、单选题1．已知复数，其中若为纯虚数，则（

）A． B．C． D．2．设集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．的展开式中的系数为（

）A． B． C．3 D．64．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球的球面上，若十四面体的棱长为1，则球的表面积为（

）A． B． C． D．6．甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（

）A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答7．已知双曲线E的左､右焦点分别为，，M，N是以为圆心，为半径的圆与E的两交点.若，则的离心率是（

）A． B． C．2 D．8．已知函数，.若不等式在上恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数则正确的有（

）A． B．C．当时，的最小值为2 D．当时，的最小值为110．设函数，若，则（

）A．的最小正周期为1 B．是奇函数C．在[0，6]上恰有6个零点 D．在上单调递增11．某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取100人，检测该健康指标的指标值，并按四个区间分组制作图表如下所示，根据下列相关信息，则（

）指标区间男､女人数比(男性：女性)城､乡人数比(城市户口：乡村户口)A．该地居民的健康指标值的众数的估计值为1B．该地居民的健康指标值的中位数的估计值为0C．样本数据中，的男性中至少有1人是城市户口D．若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的的概率为12．四棱锥的三视图如图所示，平面过点且与侧棱垂直，则（

）A．该四棱锥的表面积为B．该四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为C．平面截该四棱锥所得的截面面积为D．平面将该四棱锥分成上下两部分的体积比为三、填空题13．已知向量与的夹角为，则.14．现有甲､乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲､乙两类均被选到的方法共有种.(用数字填写答案)15．已知圆，直线和，与圆相切于点，与圆相交于，两点.若，则到的距离为.16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，分别为正，正，正的中心､现已知，的面积为，则的面积为.四、解答题17．已知等比数列的公比，且（1）求的通项公式；（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的最小值；若不存在，说明理由.问题：设数列的前项和为，，数列的前项和为是否存在，使得18．中，，点在边上，平分.（1）若，求；（2）若，且的面积为，求.19．如图，在等腰直角三角形中，是斜边上的高，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，、、分别为、、的中点，为的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．来公司为了解年宣传费(单位：十万元)对年利润(单位：十万元)的影响，统计甲､乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和利润相关数据，公司采用相关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“”，反之用“”号记录.年份2011201220132014201520162017201820192020甲1甲2甲3乙1乙2（1）根据以上信息，填写下而列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关；产生利润效益未产生利润效益总计甲地乙地总计（2）现将甲､乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择和两个模型拟合甲､乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理和计算，得到以下表格信息：回归方程残差平方和总偏差平方和甲地乙地根据上述信息，某同学得出“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并给出适当的解释；（3）该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲､乙两地的宣传费用，可以使两地总的年利润达到最大.参考公式：相关指数附：21．已知抛物线的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明.

参考答案1．【答案】C【分析】首先利用复数的乘法运算化简，之后根据纯虚数的定义列方程，解方程即可求得结果.【详解】，∵为纯虚数，∴.故选：C.2．【答案】D【分析】先解一元二次不等式得集合，根据集合之间的关系可得结果.【详解】根据题意得，，∵，∴.故选：D.3．【答案】B【分析】首先写出的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，因为要求的是的系数，所以可得，进而可得结果.【详解】的第项为：，由得，∴的展开式中的系数为.故选：B.4．【答案】B【分析】根据函数值的正负可排除一个选项D；根据函数的奇偶性可排除一个选项C；最后再利用特殊值，可得到结果.【详解】当时，，故排除D；而的定义域为，且，，∴是奇函数，故排除C；又有，∴距离1很近，比较A与B，可排除A.故选：B.5．【答案】B【分析】首先根据十四面体的特征将该几何体放于正方体中，建立空间直角坐标系，根据正方体的外接球球心坐标及该十四面体一个顶点坐标可得外接球半径，即可求得结果.【详解】根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示，十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系，∵该十四面体的棱长为1，故正方体的棱长为，∴该正方体的外接球球心的坐标为，设十四面体上一点为，则，所以十四面体的外接球半径，故外接球的表面积为.故选：B.6．【答案】A【分析】用反证法说明A正确，用反例说明BCD错误．【详解】假设没有2题有多于一人正确解答，则每一题最多只有1人正确解答，这样3人总共正确解答的题数为最多为5，而已知每人至少正确解答3题，因此至少共有9题正确解答，矛盾，故A正确；5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错；如果3人都正确解答了所有题，则C错；如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错；故选：A．7．【答案】C【分析】根据题意及双曲线的定义建立关于，的方程，进而可得双曲线的离心率.【详解】∵，∴，∴点M在双曲线的左支上，又由，根据对称性可得点N在双曲线的右支上，不妨设点M在第二象限，点N在第四象限，如图所示，根据双曲线的定义可得，，又∵M，N在以为圆心，为半径的圆上，∴，∴，，又∵，∴，∴，即的离心率是.故选：C.8．【答案】B【分析】先根据绝对值将原不等式转化为，进而分别讨论每个函数与的大小关系，通过导函数的单调性讨论得到当时，，所以必须有时，，分离参数求得的取值范围.【详解】∵，∴，即，∴对任意的，或，当时，两式均成立；当时，有或，令，，，，，，∴在单调递减，在上单调递增，而，且，∴当时，单调递减，，即，当时，单调递减，，即，当时，单调递增，，即，当时，单调递增，，即故只有当时，，所以此时必须有，即，，∴.故选：B.9．【答案】ABD【分析】根据分段函数的定义分类求解．判断CD时需先分别求得和相应的范围，再求最小值．【详解】由题意，，A正确；，B正确；时，，当时，是减函数，，无最小值，C错；时，（当且仅当时等号成立），时，时等号成立，所以此时的最小值为1，D正确．故选：ABD．10．【答案】BCD【分析】A.的最小正周期为，所以该选项错误；B.分析得到是奇函数，所以该选项正确；C.令，所以得到,求出在[0，6]上恰有6个零点所以该选项正确；D.当时，因为,所以在上单调递增，所以该选项正确.【详解】A.的最小正周期为，所以该选项错误；B.,是奇函数，所以该选项正确；C.令，所以,当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.所以在[0，6]上恰有6个零点，所以该选项正确；D.当时，因为,所以在上单调递增，所以该选项正确.故选：BCD11．【答案】ACD【详解】根据频率分布直方图可得的众数的估计值为1；利用矩形的面积为为时，可得中位数；计算出6男、4女，再根据城､乡人数比(城市户口：乡村户口)为1:1；利用二项分布可计算得到答案；【详解】对A，因为的频率为0.4，所以众数的估计值为，故A正确；对B，当时，矩形左右两边面积相等，中位数的估计值为，故B错误；对C，因为男､女人数比，所以在指标区间中有6男、4女，再根据城､乡人数比(城市户口：乡村户口)为1:1；所以城市户口中至少有一个是男的，故C正确；对D，的概率估计值为0.6，从该地居民中随机任选3人，恰有1人的的概率为，故D正确；故答案为：ACD.12．【答案】ABD【分析】作出正四棱锥，求出斜高可得表面积，同时得出侧面与底面所二面角的平面角，计算可得二面角的余弦值，在内过作于，在侧面内作交于，连接，同理再作出与的交点得截面，从而可求得截面面积，体积比．【详解】由三视图知原几何体是正四棱锥，如图，是棱锥的高，，是中点，则是斜高，，所以，表面积为，A正确；由正四棱锥性质知，是二面角的平面角，，B正确；在内过作于，在侧面内作交于，同理作出点（），则平面为平面，（因为，平面，所以平面，同理平面，所以四边形在同一平面内，为截面）．中，，，是正三角形，则是中点，，，中，，所以，，中，，中，由余弦定理得，则，，所以，C错；，又，所以下面一部分的体积为，上下两部分的体积为，D正确．故选：ABD．13．【答案】【分析】由，根据向量的数量积即可求解.【详解】向量与的夹角为，则，，所以.故答案为：14．【答案】36【详解】利用计数原理可得甲､乙两类均被选到的方法共有；【详解】甲､乙两类均被选到分两种情况：（1）甲类选2个，乙类选1个，即；（2）甲类选1个，乙类选2个，即；所以总数共有：，故答案为：.15．【答案】或【分析】首先根据直线与圆相切求得直线的方程，进而可得点的坐标，然后利用圆的性质得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得的值，进而可得的方程，最后再次利用点到直线的距离公式可得结果.【详解】∵直线与圆相切，∴，解得，∴联立，∴点的坐标为；不妨设，如图所示，设圆心到直线的距离为，∵，，∴，∴，解得，∴.当时，到的距离为；当时，到的距离为.故答案为：或.16．【答案】【详解】如图所示：连接，由题意得：，又因为，所以，，解得，由勾股定理得，即，即，由余弦定理得，解得，所以三角形ABC的面积为，故答案为：17．【答案】（1）；（2）条件①，k存在，6，理由见解析；（条件②，k存在，6，理由见解析或条件③，k不存在，理由见解析也正确）【分析】（1）根据条件求得公比，写出等比数列通项即可.（2）选择一个条件，由递推关系求得数列的通项公式，然后求得数列的前项和为根据数列单调性判断是否存在，使得，若存在则求得最小值.【详解】（1）由知，则或（舍），故；（2）（i）若选条件①，，则，又满足，即故，又，则，根据分组求和得，易知在，单增，，，故使的存在，且最小值为6.（ii）若选择条件②，，，，则，，，易知在，单增，，，故使的存在，且最小值为7.（iii）若选条件③，，则，，则是以1为首项，3为公比的等比数列，，在时，，；当，，即，，故不存在k使18．【答案】（1）或；（2）【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，从而可得，再由，展开即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得，从而解得，根据三角形的面积求出，再由余弦定理即可求解.【详解】（1）令的边为，由题意可得，因为，，为锐角，即，，，，，，当时，，当时，，所以或.（2）,设，，由，，可得，因为，则，，，解得，，，即.19．【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）本题可连接，与相交与点，连接，然后根据以及得出是等边三角形，再然后通过重心的相关性质得出，最后根据得出，根据线面平行的判定即可证得结论；（2）本题首先可构造空间直角坐标系，然后令，得出以及平面的法向量，最后设直线与平面所成角为，根据即可得出结果.【详解】（1）如图，连接，与相交与点，连接，因为三角形是等腰直角三角形，是斜边上的高，所以，即，因为，所以是等边三角形，因为、分别为、的中点，所以、是的中线，，因为为中点，为的中点，所以，因为，，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，，，所以平面，如图，过点作直线垂直平面，作空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设，是平面的法向量，则，即，令，则，，，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.20．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关；（2）判断不正确，原因见解析；（3）分配给甲地万元，分配给乙地万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为万元.【分析】（1）首先根据数据填写列联表，再根据公式计算相应的的值，进行判断即可；（2）利用模型拟合相关指数公式进行计算，进而进行判断即可可得结果；（3）首先根据两个模型写出两地总的年利润的表达式，再利用导数求得函数的单调性，进而得出函数取最大值时，自变量的值，从而可得结果.【详解】（1）根据题意填写列联表如下表所示：产生利润效益未产生利润效益总计甲地24630乙地101020总计341650∴，∴有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关；（2）对于甲地，其模型相关指数，对于乙地，其模型相关指数，∴，∴乙地模型的拟合程度更高，故“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断是不正确的；（3）设投入甲地的年宣传费为（单位：十万元），则投入乙地的费用为（单位：十万元），设两地总的年利润为（单位：十万元），则：，，∴，当，即时，，单调递增，当，即时，，单调递减，∴当时，取得最大值，最大值为.故分配给甲地万元，分配给乙地万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为万元.21．【答案