2020-2021学年广东省汕头市高三三模数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页广东省汕头市2020-2021学年高三三模数学试题一、单选题1．已知复数，是z的共轭复数，，在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集，集合，集合，则阴影部分表示的集合为A． B． C． D．3．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（

）A． B． C． D．4．已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知是定义在R上的函数，满足.都有，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．6．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融､政务服务､供应链､版权和专利､能源､物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（

）(参考数据，)A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒7．设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售.其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（

）A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少；B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上；C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍；D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍.10．已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递减C．是的一个零点 D．11．（多选题）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（

）A．B．点到平面的距离为定值C．三棱锥的体积是正方体体积的D．异面直线，所成的角为定值12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（

）A．的蒙日圆的方程为B．对直线上任意点，C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为三、填空题13．函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为.14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为.15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为.（精确到0.01cm）.四、双空题16．已知数列满足，则，若对任意的，恒成立，则的取值范围为.五、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若是锐角三角形，且，求边长c的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）18．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过x的最大整数，如，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项的和.19．已知是正三角形，线段和都垂直于平面，且，为的中点，设平面平面.（1）求证：；（2）当平面与平面所成的锐二面角为时，求几何体的体积.20．已知圆与定直线，且动圆与圆外切并与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点是直线上一个动点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为、.①求证：直线过定点；②求证：.21．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分取得最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为（1）若比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为.（i）求出的最大值点；（ii）若以作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望.参考数据：若，则，22．已知函数，.（1）当时，求证：当时，；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.

参考答案1．【答案】D【分析】先根据共轭复数的定义求出，然后根据复数的除法运算法则求出即可求解.【详解】解：，，，在复平面内对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.2．【答案】B【分析】根据Venn图可知，阴影部分表示的集合为．求得集合A与集合B，即可表示出阴影部分的集合．【详解】由图可知，阴影部分表示为因为全集，集合，集合所以，则即所以选B3．【答案】C【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.【详解】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；所以，故选：C.4．【答案】B【分析】根据等比数列以及充分必要条件的定义即可求解.【详解】解：若，则，即，根据等比数列的定义，是公比为2的等比数列不成立；若是公比为2的等比数列，则，即，所以成立；所以“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，故选：B.5．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，从而得到，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为函数满足，所以函数是是奇函数，所以，又因为，所以又在上单调递增，所以，即，故选：B6．【答案】B【详解】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则，两边同时取常用对数可得：，整理可得，再结合选项计算即可求解.【详解】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则，两边同时取常用对数可得：，即，所以，可得，所以，从选项考虑：，所以，所以，故选：B7．【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，从而可知，∴，即，∴，故选C.考点：双曲线的标准方程及其性质.〖名师点睛〗1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征.8．【答案】D【分析】从所求解集的不等式入手，令，则原不等式等价转化为，从而构造函数，结合已知条件利用单调性即可求解.【详解】解：令，则，所以不等式等价转化为不等式，即构造函数，则，由题意，，所以为R上的增函数，又，所以，所以，解得，即，所以，故选：D.9．【答案】BC【分析】根据统计图表中的信息，设扶贫前销售收入为，扶贫后销售收入为，逐项计算判定，即可求解.【详解】设扶贫前销售收入为，扶贫后销售收入为，对于A中，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为，扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为，所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加了，所以A不正确；对于B中，扶贫前，该村的自媒体销售渠道的收入，扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入，所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，所以B正确；对于C中，扶贫前，该村的农产品批发市场销售渠道的收入，扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入，所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，所以C正确；对于D中，扶贫前，该村的农产品电商销售渠道收入，扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，所以D不正确.故选：BC.10．【答案】ACD【分析】由已知可得，化简可得，化简函数解析式为，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】由题意可知函数的图象关于直线对称，则，即，整理可得，即，所以，，，所以，，D选项正确；，故函数的最小正周期为，A选项正确；当时，可得，若，则函数在上单调递增，B选项错误；，故是的一个零点，C选项正确.故选：ACD.11．【答案】ABC【分析】由线面垂直推出异面直线垂直可判断A；由点到平面的距离可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；根据异面直线所成角的定义判断D.【详解】解：对于，根据题意，，，且，所以平面，而平面，所以，所以正确；对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，所以正确；对于，三棱锥的体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，所以正确；对于，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，命题错误；故选：．12．【答案】AD【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知A正确；由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知B错误；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；由题意知蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确.【详解】对于A，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，在蒙日圆上，蒙日圆方程为：；由得：，的蒙日圆方程为：，A正确；对于B，由方程知：过，又满足蒙日圆方程，在圆上，过，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，B错误；对于C，在椭圆上，，；当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，，C错误；对于D，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，矩形的面积（当且仅当时取等号），即矩形面积的最大值为，D正确.故选：AD.13．【答案】【分析】根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.【详解】解：函数（且）的图象恒过定点A，，点A在直线上，，又，，，，当且仅当，即时等号成立，所以mn的最大值为，故答案为：.14．【答案】【分析】由题意，先求出，然后根据向量夹角公式即可求解.【详解】解：，，即，，又，，，，即与的夹角为，故答案为：.15．【答案】【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解．【详解】解：设细沙在上部时，细沙的底面半径为，则，所以细沙的体积为，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，解得，即此锥形沙堆的高度为，故答案为：.16．【答案】；【分析】由可求得的值，令由可得出，两式作差可得出数列的通项公式，可得出的值，然后分为奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，由此可求得实数的取值范围.【详解】当时，；当时，，可得，上述两式作差可得，即，不满足，所以，，则.当时，，即，所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.①若为正奇数，则，，则，可得；②若为正偶数，则，可得.综上所述，.故答案为：；.17．【答案】选择见解析（1）；（2）.【分析】（1）条件①根据正弦定理及余弦定理化简整理求角即可；条件②根据余弦定理简整理求角即可；条件③根据正弦定理化简整理求角即可；（2）因为为锐角三角形，求出角B的范围，根据正弦定理及三角恒等变换化简得到，最后求出边长c的取值范围即可.【详解】解：（1）选条件①.因为，所以，根据正弦定理得，，由余弦定理得，，因为A是的内角，所以选条件②，因为，由余弦定理，整理得，由余弦定理得，，因为A是的内角，所以.选条件③，因为，.，即因为，.（2）因为，为锐角三角形，所以，解得在中，，所以，即.由可得，，所以，所以.18．【答案】（1）；（2）3842.【分析】（1）由已知得，即，再利用可得答案；（2）分、、、、时得的值可得答案.【详解】（1）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得，当时，，当时，，又也适合上式，所以.（2），当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故数列的前2020项和为.19．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）延长、交于点，连接，证明出为的中点，利用中位线的性质可得出，说明平面平面，即可证得结论成立；（2）分析可得平面与平面所成的锐二面角为，求出，计算得出、，由此可得出，即可得解.【详解】（1）证明：如图所示，延长、交于点，连接，平面，平面，，，所以，、分别为、的中点，为的中点，所以，，平面，平面，平面，平面，所以，平面平面，因此，；（2）是等边三角形，且为的中点，则，则，所以，，故，即，因为平面，平面，，，平面，平面，，故平面与平面所成的锐二面角为，所以，为等腰直角三角形，且，则，，，，因此，几何体的体积为.20．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，由此可得出轨迹的方程；（2）①设点、，，其中，利用导数写出直线、的方程，联立两直线方程可得出点的坐标，再求出直线的方程，化简可得出直线所过定点的坐标；②对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证；在直线的斜率存在时，根据直线斜率关系可验证，综合可证得结论成立.【详解】（1）依题意知：到的距离等于到直线的距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，则，则，即抛物线的方程为，故：动圆圆心的轨迹的方程为：；（2）①由得：，，设、，，其中，则切线的方程为，即，同理，切线的方程为，由，解得，，即，、，直线的方程为，化简得，