数学+答案 江苏省扬州市2026届高三下学期考前模拟（四模）

高三数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1.已知集合A={x|x²-x>0,x∈R},集合B={-1,0,1,2},则A∩B=().A.{2}B.{-1,2}C.{-1,1}A.1B.23.已知一组数据1,2,x,6,7的平均数为4,则该组数据的70百分位数为().5.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为5,则△OFP(06.已知2cos(2α+β)+3cosβ=0,且tan(α+β)=-1,则tana=().数学试卷第1页(共4页)8.一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器(壁厚忽略不计)内装有少量液体.如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2,3,4.若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为().(参考数据：√6≈2.45,³3≈1.44)A.0.1B.0.2C.0.5二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.设正项数列{an}的前n项和是S,且a=1,a₃=20,下列选项中正确的有().A.若{an}是等差数列，则S₅=100B.若{a}是等比数列，则a₅=40C.若{Sn}是等差数列，则a₂=20D.若{Sn}是等比数列，则S₂=510.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①.在圆锥PO中，轴截面PAB是斜边长为2√2的等腰直角三角形，点M是线段PB的中点.过点M的平面截圆锥PO,下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆(截面经过点A)、抛物线的一部分(截面经过点O)、双曲线的一部分(截面垂直于平面PAB),则(A.圆的面积为πB.椭圆的长轴长为√5C.抛物线的焦点到准线的距离为1D.双曲线的离心率为√211.已知函数设f(f(a))=f(f(b))=f(f(c)),则下列选项中正确的有().A.f(a)=f(c)B.a≤Inc数学试卷第2页(共4页)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)0πx16.(本小题满分15分)数学试卷第3页(共4页)MDIMB.18.(本小题满分17分)19.(本小题满分17分)为6).数学试卷第4页(共4页)123456789BCDACDCB2348或168又,解得A=2,所以……6分…8分,g(x)=-4sin2x,…………又,所以4x∈(0,2π).………………10分(2)记第n次取出黑球为事件A,第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件B.17.【答案】(1)由题，当M为C的上顶点时，由MD|=√3得，(2)设MN:x=my-1,M(x₁,y),N(x₂,y₂)(y₁>0,y₂<0)所以(3)由(2)得，故△PAD与△QBD的面积之比为1.…15分18.【答案】(1)在翻折过程中，AE//DF,DFc平面DFQ,AEα平面DFQ,又因为PE//QF,QF平面DFQ,PEα平面DFQ,所以PE//DFQ,又AEc平面AEP,PEc平面AEP,AE∩PE=E,所以平面AEP//平面DFQ.…………………4分(2)①如图，在平面PEFQ内过点Q作QG⊥EF,交EF于点G,连接FH.因为EFc平面AEFD,所以QH⊥EF,又QG⊥EF,QG∩QH=Q,所以EF1平面QGH,因为GHc平面QGH,所以EF⊥GH,②延长QH至点T,使HT=QH,则TM=QM,由①知EF⊥平面QGH,即EF⊥平面QTG,又EFc平面EFQP,所以平面EFQP⊥平面QTG,又平面EFQP∩平面QTG=QG,TK⊥QG,………2分扬州四模高三数学试卷锤子数学精彩解析一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.已知集合,集合B={-1,0,1,2},则A∩B=.【答案】B【锤子数学解析】A={x|x>1或x<0},A∩B={-1,2},选B.【答案】C3.已知一组数据1,2,x,6,7的平均数为4,则该组数据的70百分位数为.【答案】D【锤子数学解析】1,2,x,6,7平均数为4,则x=4,5×70%=3.5,第4个数为6,即70百分位数为6,选D.4.已知单位向量a,b,则是“存在实数λ,使得b=λa”的.C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A存在λ,b=λa,则b=|2a,二|2|=1,λ=-1时，a+b=0,此时不必要，选A.5.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为5,则△OFP(0为坐标原点)的面积为.【锤子数学解析】F(1,0),PF=5,则x,=4,P(4,±4),6.已知2cos(2α+β)+3cosβ=0,且tan(a+β)=-1,则tana=.【锤子数学解析】2cos(α+α+β)+3cos[α-(a+β)]=0,2cosacos(α-β)-2sinasin(α+β)+3cosacos(α+β)+3si5cosacos(α+β)+sinasin(a+β)=7.已知圆C:x²+y²=1,点P在,P(m,-2m+4)8.一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器(壁厚忽略不计)内装有少量液体.如图，分别为2,3,4.若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为(参考数据：√6≈2.45,³3≈1.44)【答案】B体=2×3×6=∴V液体=2√2,当底面贴合桌面时，设液体截面为等边△PQR,方法二：设原正四面体体积为v,液体体积为v₁,正四面体高为h₀,放正后液面高6水平放置后，水面上方的小正四面体与原正四面体相似，设锥体总高为h₀,液体体积分数为r,底部液面高为h,则精算值为h≈0.196,选项自然靠近0.2.4、锤子改编：若棱长仍为6,三条截距改为x,y,z,则条件为倾斜状态下液面与三条棱的交点，利用体积比例公式算出液体的体积占总体二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.设正项数列{an}的前n项和是S,且a₁=1,a₃=20,下列选项中正确的有.对于{S}成等差数列，S₁=1,S₂=1+a₂,S₃=21+a₂,则2(1+a₂)=1+21+a₂对于D,{S}成等比数列，则(1+a₂)²=1.(21+a₂),∴a₂=4,S₂=1+4=5,D对点.过点M的平面截圆锥PO,下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆(截面经过点A)、抛物线的一部分(截面经过点0)、双曲线的一部分(截面垂直于平BA 对于B,该圆锥母线长为2,截得③中椭圆长轴长为√4+1=√5,B正确.对于D,∵截面与圆锥轴PO平行，∴截面与PO所成角为β=0°,圆锥半顶角11.已知函数设a,b,c是三个不同的实数，且满足a<b<c,f(f(a))=f(f(b))=f(f(c)),则下列选项中正确的有.A.f(a)=f(c)B.a≤Inc【答案】ABf(a)=e-¹,f(b)=Ink,f(c)=e-¹,A对.无最小值，在k∈[0,1]单调递增，,D错，选AB.方法二：作出f(x)大致图象如下：令f(x)=m,∴f(m)=t,要使原方程有三个不同的解，易知0<t≤1令Inx+1=1→x=1,设f(m)=t的两根为m,m₂由f(x)=m,得其解由f(x)=m₂得其解∈(-1,0),另一解由前分析知e“=Inc+1→Inc=e“-1≥a,B正确.对于D,由(*)知,当t=1时可取“=”,D错，选：AB.因a<b<c且g(a)=g(b)=g(c),所以a,b,c分别在三段上，f(a)=e²-¹,f(c)=Inc+1=e-¹,AInc=e-¹-1,令u=t-1,则u≤0,e“≥1+u,故a=t-1≤e¹-¹-1=Inc,B正确.0<t≤1,所以a+b>-1,不存在最小值，C错误.必然一个方程有1个根，另一个有2个根.f(x)=t有2个有1个根→t≤0或t>1.结合f(t₁)=f(t₂)=k,可知必有k∈[0,1].f(x)=t₂>0→x₁≤0,x₂>0→x₁=Int₂=k-1,x₂=e¹²-¹=ee⁻¹-1.故f(a)=f(c),A正确.g'(k)=1-e-¹≥0→g(k)m=g(1)=0→k≤e-¹,故a≤Inc,B正确.对C,,因为k∈[0,1],无最小值，范围下限为-1,C错误.对D,,D错误.锤子拓展与深挖锤子拓展与深挖1、深挖核心模型：这题的核心是同一水平线与81(x)=x+1,g₂(x)=e·x,g₃(x)=In(Inx+1)+1.同值三根直接反解：a=t-1,,t∈(0,1).所以选项中只含a,b,c的式子，都可以化成关于t的一元函数..若则a=t-m,c=e°"-",0<t≤min(m,13、最值改编：若要求pa+4b+re,原题中可化成所以最大值在t=1时取得.取p=q=r=1,仍然没有最小值.锤子点评：这道题实际上就是复合函数中嵌套函数的零点问题，建议大家采用换元画图分而治之的策略.先将内层函数换元，然后转化为内外两层方程解的情况!本题三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)【答案】213.已知数列{a}满足a₁=2,a₃=24,且数列{a„+n}为等比数列，则{a}的前5项【答案】168【锤子数学解析】b=an+n,{b}为等比数列，b₁=3,b₃=27,q²=9,q=±3【答案】→2cosa·(sinacosβ-cosasinβ)=sinβ,∴2sina→ta时取“=”,∴→AC²+2AB·AC=0→b²+2bc令cos2A=t∈(-1,1),由于b=-2ccosA>0→cosA<0,55令所所直角条件把C,D放在两条垂直轴上，设思路，大家看到线段的比例关系，转化为向量的基底表示，结合垂直条件处理成数化曲为直，借助向量坐标运算得到正切值的表达式，接着用基本不等式!平时大家一定要多总结，遇到特殊角或者垂直条件，建系往往能让复杂问题变简单，几何图形的性质确定了坐标之间的关系，代数式的放缩确定了最终的范围，数形结合是关键!四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)某同学用“五点法”画函数0x(1)求函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g(x)的图象，且其图象关于y轴对称，求g(x)g'(x)>2在上的解集.【锤子数学解析】(1)由题意知又解得A=2,所以又所以4x∈(0,2π).则,解得所以g(x)g'(x)<216.(本小题满分15分)有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次.(1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为X,求X的分布列和期望；(2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概【锤子数学解析】X的取值集合是{0,1,2,3},答：X的期望是1.(2)记第n次取出黑球为事件A,第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件B.方法二：17.(本小题满分15分)已知椭圆C:)的左、右顶点分别为A,B,(1)求C的方程；(2)若,求1的方程；(3)若AM,BN与y轴分别交于P,Q,求△PAD与△QBD的面积之比.【锤子数学解析】(2)设MN:x=my-1,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)(y₁>0,y₂<0)(3)由(2)得，由AM:,即故△PAD与△QBD的面积之比为1.18.(本小题满分17分)如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=7,点E,F分别在线置.(2)①如图，在平面PEFQ内过点Q作QG⊥EF,交EF于点G,连接FH.因为点H是点Q在平面AEFD上的射影，所以QH⊥平面AEFD,因为EFc平面AEFD,所以QH⊥EF,又QG⊥EF,QG∩QH=Q,所以EF⊥平面因为GHc平面QGH,所以EF⊥GH,所以CG=8sin45°=4√2,GH=7√2-4√2=3√2,所以由①知EF⊥平面QGH,即EF⊥平面QTG,又EFc平面EFQP,所以平面EFQP⊥平面QTG,又平面EFQP∩平面QTG=QG,TK⊥QG,TKc平面QTG,所以TK上平面EFQP,所以TK≤TM+MN(当且仅当点N与点K重合，且点M为线段TK与平面AEFD交点时取“=”),所以,所以所以点K在线段EF上，所以QM+MN的最小值为方法二：(1)证明：∵矩形ABCD中，AE/折叠过程中，BE//CF保持不变，即PE//QF又AE∩PE=E,DF∩QF=F,AE,PEc平面AEP,DF,QFc平面DFQ→FE·FC=56.FQ=(x₁-1,7,z₁),FQ·FE=7(x₁-1)+49=7x₁+42②设平面PQFE为β,平面AEFD为α.设=QM=(x₃,J₃,z₃)=(x-2QM+MN=√x²+y²+14+n₁x₃+n₂J₃+n₃z₃令t=√x²+y²≥0,且体会这种代数与几何相互转化的思想.整道题思维跨度大19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=(x+1)Inx-a(x-1),a∈R.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)过点(0,-1)的切线方程；(2)若对任意x≥1,