第2讲常用逻辑用语课件2027届高三数学一轮复习

第2讲常用逻辑用语考点一

充分条件、必要条件及充要条件的判断

[例1]

(1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A[解析]

由x=0⇒sin

2x=sin

0=0,则“x=0”是“sin

2x=0”的充分条件;又当x=π时,sin

2x=sin

2π=0,可知sin

2x=0⇏x=0,故“x=0”不是“sin

2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin

2x=0”的充分不必要条件.(2)(2024·北京卷)设

a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]

由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.B

ACD跟踪训练

考点二

充分条件、必要条件及充要条件的应用

A

(2)已知p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是

;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是

.

[解析]

因为p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则(-∞,a]⫋(-∞,1],因此a<1,即实数a的取值范围是(-∞,1).若p是q的必要条件,则(-∞,a]⊆(-∞,1],因此a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].(-∞,1)(-∞,1]求参数问题的解题策略1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.2.要注意区间端点值的检验.方法总结

D跟踪训练考点三

全称量词命题与存在量词命题及其否定[例3]

(1)(2026·山东济南模拟)命题“∀x>1,x2-m>1”的否定是 (

)A.∃x>1,x2-m≤1 B.∃x≤1,x2-m≤1C.∀x>1,x2-m≤1 D.∀x≤1,x2-m≤1[解析]

命题“∀x>1,x2-m>1”为全称量词命题,其否定为∃x>1,x2-m≤1.A(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则(

)A.p和q都是真命题 B.

￢p和q都是真命题C.p和￢q都是真命题 D.

￢p和￢q都是真命题[解析]

对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,对于q而言,取x=1,则有x3=x,故q是真命题,p是假命题,

￢p是真命题,q是真命题,

￢q是假命题,综上,

￢p和q都是真命题.B(3)(2026·陕西西安模拟)若命题“∃x∈[-1,3],x2-2x-a≤0”为真命题,则实数a可取的最小整数值是(

)A.-1 B.0C.1 D.3[解析]

由题意,∃x∈[-1,3],a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,x∈[-1,3].因为函数h(x)=x2-2x

在(