2024-2025学年北京东城区东直门中学八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京市东城区东直门中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.(3分)一元二次方程2xA.2，1，5B.2，1，−5C.2，0，−5D.2，0，52.(3分)下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.4，5，6D.6，8，103.(3分)下列运算正确的是（）A.3B.4C.32D.34.(3分)下列各式中，是最简二次根式的是（）A.0.2B.xC.18D.x5.(3分)用配方法解方程x2A.(x−4B.(x−4C.(x−4D.(x−46.(3分)矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A.对边平行B.对边相等C.对角线互相平分D.对角线相等7.(3分)将直线y=3x向上平移2个单位长度后，得到的直线是（）A.y=3B.y=3C.y=3x+2D.y=3x−28.(3分)如图，直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2A.&B.&C.&D.&9.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形.若点C的坐标为(6,0)，则点D的坐标为（）A.(2,4)B.(2,6)C.(2，2D.(2，2+210.(3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB=3，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B−A−D−C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示.则点M的位置可能是图1中的（）A.点CB.点FC.点DD.点O二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.(2分)函数y=1x−1中，自变量x的取值范围为12.(2分)如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，若BC=3，DE=2，则AB=.13.(2分)已知P1(−1，y1)、P2(2，y2)是一次函数y=2x+1的图象上的两点，则y14.(2分)关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是15.(2分)如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=8，BC=12，则EF的长为.16.(2分)据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.5万元和3.9万元.设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为.17.(2分)如图，矩形纸片ABCD，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DE，则A'B=，AE=18.(2分)如图，正方形ABCD中，点E为CD边上的点（点E不与点C、D重合），以CE为边作正方形CEFG，连接AF，设AB=a，CE=b，AF=c，给出下面三个结论：①a2+b2<c；②2a>c；③三、解答题（本题共54分，19题7分，20题5分，21题4分，22-26题每题5分，27题7分，28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19.(7分)计算：(1)12−3(2)(520.(5分)解方程：x221.(4分)下面是小李设计的作矩形ABCD的尺规作图过程.已知：Rt△ABC中，∠ABC=90求作：矩形ABCD.作法：如图，1、以点A圆心，BC长为半径作弧；2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D(点D与点B在直线AC异侧）；3、连接AD，CD.所以四边形ABCD就是所求作的矩形.根据小李设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明（括号里填推理的依据)。证明：∵AB=______，BC=______，∴四边形ABCD是平行四边形(______).又∵∠ABC=90∴四边形ABCD是矩形(______).22.(5分)已知关于x的一元二次方程x2(1)判断方程根的情况，并说明理由；(2)若方程一个根为−1，求m的值.23.(5分)如图，在▱ABCD中，∠ACB=90∘，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点(1)求证：四边形ACED是矩形；(2)连接BF，若∠ABC=60∘，CE=4，求24.(5分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,1)和(0,−1)(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x<1时，对于x的每一个值，一次函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出25.(5分)我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题.在研究过程中，他们将函数y=−|x+1|+2确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系.请你根据以下探究过程，回答问题.(1)作出函数y=−|x+1|+2的图象.①列表：x…−4−3−2−1012…y…−10m210−1…其中，表格中m的值为______；②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；③连线：画出该函数的图象.(2)观察函数y=−|x+1|+2的图象，探索函数性质：①当x=______时，函数y=−|x+1|+2有最大值，最大值为______；②写出该函数的其它性质（写一条即可)______；(3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点M(2m−1，y1)与N(m−3，y2)都在函数y=−|x+1|+2的图象上，总有26.(5分)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成.如图中的射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1(单位：元）和y2(1)直接写出方案二中的底薪是多少元；(2)求y2与x(3)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过200千克，但其3月份的工资超过5000元.请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的3月份工资，并说明你的理由.27.(7分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2α，对角线AC、BD相交于点O，E为对角线AC上的动点（不与点C重合），将线段DE绕点D顺时针旋转180−2α得到线段DF.(1)如图1，当E与点O重合时，连接AF，求证：AF=AO；(2)如图2，过点F作直线FM∥CD，交直线AC于点M，过点F作FN⊥FM交射线MA于点N.①依题意补全图形；②请用等式表示线段MN与CE之间的数量关系，并证明.28.(6分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P和直线l1，l2，点P关于直线l1，l2“和距离”的定义如下：若点P到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则称d1+d2为点P关于直线l1，l2的“和距离”，记作(1)在点P1(3,0)，P2(−1,2)，P3(4,−1)中，关于(2)若P是直线y=x+3上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为______；(3)已知点A(1,4)，B(3,2)，C(1,2)，点P是△ABC边上的动点，直接写出点P关于x轴和直线y=2024-2025学年北京市东城区东直门中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1、【答案】B【知识点】一元二次方程的一般形式2、【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理3、【答案】D【知识点】二次根式的混合运算4、【答案】B【知识点】最简二次根式5、【答案】A【知识点】解一元二次方程-配方法6、【答案】D【知识点】平行四边形的性质,矩形的性质7、【答案】C【知识点】一次函数图象与几何变换8、【答案】A【知识点】点的坐标,一次函数与二元一次方程（组）9、【答案】B【知识点】点的坐标,坐标与图形性质10、【答案】D【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（本题共16分，每小题2分）11、【答案】x≠1【知识点】函数自变量的取值范围12、【答案】1【知识点】平行四边形的性质13、【答案】<【知识点】一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征14、【答案】1【知识点】根的判别式15、【答案】2【知识点】三角形中位线定理16、【答案】3.5【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程17、【答案】2,3【知识点】翻折变换（折叠问题）,矩形的性质18、【答案】①②③【知识点】正方形的性质三、解答题（本题共54分，19题7分，20题5分，21题4分，22-26题每题5分，27题7分，28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19、【解答】解：(1)12=2=3(2)(=5−2==11.【知识点】二次根式的混合运算20、【解答】解：x2x2−2x+1=6+1，即∴x−1=±7∴x1=1+【知识点】解一元二次方程-配方法21、【解答】(1)解：如图所示.(2)证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。又∵∠ABC=90∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形)。故答案为：CD；AD；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.【知识点】平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,作图—复杂作图22、【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根.理由如下：Δ=(−2)∵m<0，∴−4m>0，∴4−4m>0，即Δ∴方程有两个不相等的实数根；(2)把x=−1代入方程x2−2x+m=0得解得m=−3.【知识点】一元二次方程的解,根的判别式23、【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∵DE⊥BC，∠ACB=90∴DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，又∵DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形；(2)解：∵四边形ACED是矩形，∴AE=CD，FA=EF，∴AE=AB，∵∠ABC=60∴△ABE是等边三角形，又∵∠ACB=90∘，∴CE=BC=4，BF⊥AE，∠EBF=30∴BE=8，∴EF=4，BF=3【知识点】勾股定理,平行四边形的性质,矩形的判定与性质24、【解答】(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,1)和(0,−1)，∴&解得&∴这个一次函数的解析式为y=2x−1(2)把点(1,1)代入y=mx得，m=1，∵当x<1时，对于x的每一个值，一次函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=2x−1∴m的取值范围是1⩽m⩽2.【知识点】点的坐标25、【解答】解：（1）①当x=−2时，y=−|−2+1|+2=1，故答案为：1；②③图象如下：(2)①当x=−1时，函数y=−|x+1|+2有最大值，最大值为2，故答案为：−1，2；②当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小；(3)由题意得：|m−3+1|<|2m−1+1|，解得：m<−2或m>2故答案为：m<−2或m>2【知识点】有序数对26、【解答】解：（1）由图象可得，方案二中的底薪是800元；(2)设y2根据题意，得&b=800解得&k∴y2与x的函数解析式为(3)设y1根据题意得40k解得k1∴y当x=200时，y1y2∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资.【知识点】一元一次不等式的应用27、【解答】(1)证明：∵将线段DE绕点D顺时针旋转180−2α得到线段DF，∴DE=DF，∠FDO=180∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=12∠BAD=α∴∠ADO=90∴∠ADF=180∴∠ADF=∠ADO，∵AD=AD，∴△ADF≌△ADO(SAS)∴AF=AO；(2)解：①补全图形如下，②CE=1证明：连接AF，取MN的中点H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC,DC∥AB，∠DAC=∠DCA=α，∵∠BAD=2α，∴∠ADC=180∵将线段DE绕点D顺时针旋转180−2α得到线段DF，∴DE=DF，∠FDO=180∴∠CDE=∠ADF，∴△CDE≌△ADF(SAS)∴∠DCE=∠DAF=α，CE=AF，∴∠FAH=2α，∵FM∥DC，∴∠FMN=∠DCA=α，∵NF⊥FM，∴∠MFN=90∴∠FNM=90∵H为MN的中点，∴FH=NH=1∴∠FNH=∠NFH=90∴∠FHN=2α，∴∠FHN=∠FAH，∴AF=FH，∴CE=AF，∴CE=1【知识点】平方根,四边形综合题28、【解答】解：(1)∵|3|+|0|=3，∴P1(3,0)关于x轴和y∵|−1|+|2|=3，∴P2(−1,2)关于x轴和y∵|4|+|−1|=5，∴P3(4,−1)关于x轴和y故答案为：P1(3,0)，(2)设P(p,p+3)∴点P关于x轴和y轴的“和距离”d=|p|+|p+3|，由绝对值的几何意义可知，当−3⩽p⩽0时，|p|+|p+3|的最小值为3，∴点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3；故答案为：3；(3)设直线y=3x+6交x轴于D，交y轴于在y=3x+6中，令x=0得y=6，令y=0得∴D(−23，0),