2024-2025学年北京东城区文汇中学八年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京市东城区文汇中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分）1.(3分)下列各式中，是最简二次根式的是（）A.3B.8C.10D.182.(3分)下列计算正确的是（）A.2B.4C.20D.33.(3分)下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（）A.2，4，6B.1，C.1，D.4，5，64.(3分)如图，在▱ABCD中，∠A+∠C=80∘，则A.100B.140C.70D.405.(3分)下列命题正确的是（）A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.有两个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形6.(3分)如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（）A.24B.18C.12D.97.(3分)如图，矩形ABCD，BD=8，对角线AC，BD交于O，若∠AOB=60∘，则A.4B.4C.8D.168.(3分)下列关于一次函数y=−2x+4的图象性质说法中，不正确的是（）A.直线与x轴交点的坐标是(0,2)B.直线经过第一、二、四象限C.y随x的增大而减小D.与两坐标轴围成的三角形面积为49.(3分)如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m)，踏板离地的垂直高度CF=2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A.3.4mB.3.25mC.4mD.5.5m10.(3分)如图，宇树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设小P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段AB的距离为（）A.4B.9C.7D.92二、填空题（每题2分，共16分）11.(2分)当x时，二次根式x−2有意义.12.(2分)已知点(−2，y1)，(8，y2)均在一次函数y=3x−2的图象上，则y1y2(13.(2分)如图，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在数轴上，点O与原点重合，以原点为圆心，线段OB长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是.14.(2分)一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表所示：燃烧时间（分）1020304050…剩余长度(cm)1918171615…则剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系为，自变量的取值范围是.15.(2分)如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.若OB=3，OE=33，则菱形ABCD的面积为.16.(2分)如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象交于点P，则不等式kx−3⩽2x+b的解集是.17.(2分)如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE=7，则△PAE周长的最小值为.18.(2分)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2(S1>S2)，则下列四个结论：①S1+S2=14三、解答题（本题共54分，19题6分，20题5分，21题4分，22题每小题6分，23题4分，24题5分，25题6分，26题5分，27题7分，28题7分）19.(6分)计算：(1)32−61(2)(1−2320.(5分)已知：△ABC为锐角三角形，AB=AC.求作：菱形ABDC.作法：如图，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD，BD；四边形ABDC就是所求作的菱形.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明.证明：∵AB=AC，AE平分∠CAB，∴CO=______.∵AO=DO，∴四边形ABDC是平行四边形.∵AB=AC，∴四边形ABDC是菱形(______)(填推理的依据)。21.(4分)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：BE=DF.22.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=−x−n交于点A(1,m)，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC(1)求m，n的值；(2)若△BDC的面积是△ABC面积的2倍，直接写出点D的坐标.23.(4分)在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图.(1)在图①中，画一个等腰直角三角形ABC，使其面积为52(2)在图②中，画一个平行四边形ABDE，使其面积为5(不包括正方形)。24.(5分)如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE=90∘，延长ED至点C，使DC=ED，连接AC交BD于点O，连接BC(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长.25.(6分)为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与飞行的时间x(秒）之间的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：(1)甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒；(2)求线段PQ对应的函数表达式；(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间.26.(5分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(2,1)(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m27.(7分)如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点（不与A，D重合），连接CE，点B关于直线CE的对称点是点F，连接CF，DF，直线CE与直线DF交于点P，连接BF与直线CE交于点Q.(1)依题意补全图形；(2)设∠DCE=α，则∠CDF=______，∠EPD=______.（可用含有α的式子表示）(3)用等式表示线段PD，PF，CD之间的数量关系，并证明.(4)当PF=PC时，若DF=2，直接写出BE的值.28.(7分)△ABC中，点D是边BC上一点（不与B、C重合），连结AD，若P是AD的中点，则称点P为△ABC中边BC的“有缘点”.其中，若A(x1，y1)、D(x2，已知A(1,4)，B(−3,0)(1)点P1(−2，32)、P2(0,2)、P(2)已知△DEF中，D(m,−1)，E(m+4,−1)，EF⊥DE，∠EDF=45∘，点F在x轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在△DEF中边(3)已知△A1B1C1中，A1(t,0)，边A1B1与y轴交于点Q(0,2)，边B1C1与x轴交于点M2024-2025学年北京市东城区文汇中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分）1、【答案】C【知识点】最简二次根式2、【答案】D【知识点】分母有理化,二次根式的混合运算3、【答案】C【知识点】勾股定理的逆定理4、【答案】B【知识点】平行四边形的性质5、【答案】D【知识点】命题与定理6、【答案】A【知识点】三角形中位线定理,菱形的性质7、【答案】B【知识点】矩形的性质,等边三角形的判定与性质8、【答案】A【知识点】点的坐标,一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征9、【答案】B【知识点】勾股定理的应用10、【答案】A【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（每题2分，共16分）11、【答案】⩾2【知识点】二次根式有意义的条件12、【答案】<【知识点】一次函数图象上点的坐标特征13、【答案】5【知识点】实数与数轴,勾股定理14、【答案】y=−0.1x+20,0⩽x⩽200【知识点】根据实际问题列一次函数关系式15、【答案】18【知识点】菱形的性质16、【答案】x⩾4【知识点】一次函数与一元一次不等式,两条直线相交或平行问题17、【答案】20【知识点】轴对称-最短路线问题,勾股定理,正方形的性质18、【答案】①②③【知识点】数学常识,平方根,勾股定理的证明,正方形的性质三、解答题（本题共54分，19题6分，20题5分，21题4分，22题每小题6分，23题4分，24题5分，25题6分，26题5分，27题7分，28题7分）19、【解答】解：(1)32=4=2=32(2)(1−2=1−4=1−4=12−43【知识点】平方差公式,二次根式的混合运算20、【解答】解：（1）如图，四边形ABDC为所求作；(2)完成下面的证明.证明：∵AB=AC，AE平分∠CAB，∴CO=BO.∵AO=DO，∴四边形ABDC是平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABDC是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形)。故答案为BO；邻边相等的平行四边形为菱形.【知识点】等腰三角形的性质,平行四边形的判定与性质,菱形的性质,菱形的判定,作图—复杂作图21、【解答】证明：如图，连接BD与对角线AC交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵AE=CF，OA−AE=OC−CF，∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF.【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质22、【解答】解：(1)点A(1,m)在直线y=x+1∴m=1+1=2，∴A点坐标为(1,2)，∵A点也在直线y=−x−n上，∴2=−1−n，∴n=−3，即m=2，n=−3；(2)∵n=−3，∴直线y=−x+n为y=−x+3，∴当y=0时，x=3，∴C点坐标为(3,0)，∵直线y=x+1，当y=0时，x=−1，∴B点坐标为(−1,0)，∴BC=4，∵A点坐标为(1,2)，∴△ABC面积为12设D点纵坐标为ℎ，∴△BDC的面积为12∵△BDC的面积是△ABC面积的2倍，∴2·|ℎ|=8，∴|ℎ|=4，∴ℎ=±4，∵点D是直线AC上，直线AC的解析式为y=−x+3，∴当ℎ=4时，x=−1；当ℎ=−4时，x=7，∴D点坐标为(−1,4)(7,−4)【知识点】点的坐标23、【解答】解：(1)根据勾股定理可得AC=AB=2BC=1∵AC∴△ABC为等腰直角三角形，如图，(2)根据网格特征，得四边形ABDE是平行四边形，运用割补法得出平行四边形ABDE的面积为5，如图，∵AM=DN，BM=EN，∠BMA=∠END=90∴△AMB≅△END(SAS)∴AB=ED，同理可得△APE≅△DOB(SAS)∴BD=EA，∴四边形ABDE为平行四边形，S▱ABDE=2×5−2×1【知识点】勾股定理,等腰直角三角形,平行四边形的判定,作图—应用与设计作图24、【解答】(1)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB=ED，∵DC=ED，∴DC=AB,DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE⊥AD，∴∠ADC=90∴四边形ABCD是矩形；(2)解：过O作OF⊥CD于F，∵四边形ABCD是矩形，AD=4，AB=2∴DE=CD=AB=2，AD=BC=4，AC=BD，AO=OC，BO=DO，∴OD=OC，∵OF⊥CD，∴DF=CF=1∴OF=12BC=∴OE=E【知识点】矩形的判定与性质,平行四边形的性质25、【解答】解：（1）甲无人机的速度是36÷6=6(米/秒)，乙无人机的速度是(72−12)÷20=3(米/故答案为：6，3；(2)甲无人机飞行PQ段用时(72−36)÷6=6(秒),20−6=14(秒)∴P(14,36)设线段PQ对应的函数表达式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，将坐标P(14,36)和Q(20,72)分别代入&14k+b=36&20k+b=72解得：&k=6∴线段PQ对应的函数表达式为y=6x−48(14⩽x⩽20)(3)设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y=k将(0,12)、(20,72)代入，得&20k'+b'=72&b'=12∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y=3x+12(0⩽x⩽20)当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14⩽x⩽20，由与乙无人机的高度差为9米得：3x+12−(6x−48)=9解得x=17，∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒.【知识点】一次函数的应用-行程问题,一次函数的应用-其他问题26、【解答】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x∴k=−1.将点(2,1)代入y=kx+b，2×(−1)+b=1∴解得b=3，∴一次函数的表达式是y=−x+3；(2)如图，，又∵当x=2时，y=−x+3=1，∴当x=2时，y=mx−1=2m−1=1，则m=1.∵当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b∴结合图象可得，−1⩽m<0或0<m⩽1.【知识点】点的坐标27、【解答】解：(1)由题意，补全图形如图：(2)∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠BCD=90∵点B关于直线CE的对称点是点F，∴BC=CF，BF⊥CE，∠BCQ=∠FCQ，∴∠CBF=∠CFB，CD=CF，∴∠CDF=∠CFD，∵∠DCE=α，∴∠BCQ=∠FCQ=90∴∠DCF=∠FCQ−∠DCQ=90∘−2α∴∠CDF=∠CFD=12(180°−∠DCF)=α−45°∴∠DFQ=∠DFC−∠CFB=45∴∠EPD=90故答案为：α−45∘，(3)PD2+PF2在正方形ABCD中，BC=C