全品高考备战2027年数学一轮学生用书06增分微课2破解抽象函数的方法【答案】听课手册

增分微课2破解抽象函数的方法例1C[解析]令x=0,则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y),∴f(y)=-f(-y),∴f(x)为奇函数.令y=1,则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x),∵f(x)为奇函数,∴f(1-x)=-f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,故f(2025)=f(1)=1.故选C.变式题D[解析]令a=b=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0;令a=1,b=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+1=0,又f(-1)=3,所以f(1)=-4;令a=b=1,得f(2)=f(1)+f(1)-1=-9;令a=1,b=2,得f(3)=f(1)+f(2)-2=-15.故选D.例2解:(1)证明:令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,∴f(-1)=0,∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),又f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.(2)证明:设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=fx1·x2x1-f(x1)=f(x1)+fx2x1∵x2>x1>0,∴x2x1>1,∴fx2x1>0,即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),(3)∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2.∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)<f(4),又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴|2x2-1|<4,解得-102<x<10又2x2-1≠0,∴x≠±22∴不等式的解集为-102,-22变式题(1)ABC(2)[-4,2][解析](1)令x=y=0,可得f(0)=0,故A正确;令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故B正确;令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),可得f(-1)=0,令x=-1,y=x,可得f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,故C正确;设函数f(x)=0,此时满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),但函数f(x)没有极值点,故D错误.故选ABC.(2)设x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>0.又f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0,所以函数f(x)为增函数.令x=y=0,得f(0)=0;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0.因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=2,f(-2)=f(-1-1)=2f(-1)=-4,所以f(x)在[-2,1]上的取值范围为[-4,2].例3A[解析]方法一:令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x)=-f(x+3)=f(x+6),即f(x)是周期为6的周期函数.因为f(0)=2,f(1)=1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所以∑方法二:令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.设f(x)=acosωx,则由f(0)=2,f(1)=1知a=2,2cosω=1,解得cosω=12,不妨取ω=π3,则f(x)=2cosπ3x,所以f(x+y)+f(x-y)=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x-π3y=4cosπ3xcosπ3y=f(x)f(y),所以f(x)=2cosπ3x符合条件,因此f(x)的最小正周期T=2ππ3=6,且f(2)=-1,f变式题ACD[解析]方法一:对于A,令x=y=0,可得2[f(0)]2=2f(0),解得f(0)=0或f(0)=1,令x=y=1,可得f(2)+f(0)=2[f(1)]2,当f(0)=0时,-1=2[f(1)]2,显然不成立,故f(0)=1,故A正确;对于B,令x=0,得2f(0)·f(y)=f(y)+f(-y),即f(-y)=f(y),又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,故B错误;对于C,由选项A知,2[f(1)]2=f(2)+f(0)=0,所以f(1)=0,令x=1,得2f(1)f(y)=f(1+y)+f(1-y)=0,即f(1+x)+f(1-x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故C正确;对于D,因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又由C选项得f(1+x)+f(1-x)=0,即f(-x)+f(2+x)=0,得f(x)+f(2+x)=0,所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)的周期为4,因为f(1)=0,f(2)=-1,f(3)=f(-1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+(-1)+0+1=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2025)=f(2025)=f(1)=0,故D正确.故选ACD.方法二:根据题意可设f(x)=cosωx,由f(2)=cos2ω=-1,可得ω=π2+k1π(k1∈Z),不妨令ω=π2,则f(x)=cosπ2x,满足题意.易知f(x)是偶函数,B错误;f(0)=cos0=1,A正确;令π2x=π2+kπ(k∈Z),则x=1+2k(k∈Z),当k=0时,x=1,故f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,C正确;f(x)的最小正周期T=2ππ2=4,又f(1)=0,f(2)=-1,f(3)=0,f(4)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2025)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)=例4B[解析]因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,所以f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>5+8=13,f(7)>8+13=21,f(8)>13+21=34,f(9)>21+34=55,f(10)>34+55=89,…,f(20)>10946.故选B.变式题BC[解析]令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,令y=1,则有f(x+1)=f(x)+f(1)+x=f(x)+x,所以f(2)=f(1)+1=1≠0=-f(0),所以函数f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故A错误,B正确;由f(x+1)=f(x)+x,得f(x+1)-f(x)=x,则f(2024)=f(2024)-f(2023)+f(2023)-f(2022)+…+f(2)-f(1)+f(1)=2023+2022+…+1+0=(2023+1)×20