2024-2025学年山东省潍坊市寒亭区七年级（下）期末数学试卷 （含解析）

2024-2025学年山东省潍坊市寒亭区七年级（下）期末数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1．如图，在△中，，，则的度数为A． B． C． D．2．据测定，杨絮纤维的直径约为，其中0.0000105用科学记数法表示为A． B． C． D．3．下列调查中，适合采用抽样调查的是A．对乘坐飞机的乘客进行安检 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞性能 C．了解全班同学的视力情况 D．检测“嫦娥六号”月球探测器零部件的质量4．如图，已知，，，则的度数为A． B． C． D．5．解关于，的方程组，下列消元方法正确的是A．②①，消去 B．由②得代入①，消去 C．①②，消去 D．由②得代入①，消去6．如图，正五边形的对角线与相交于点，则的度数为A． B． C． D．7．下列运算正确的是A． B． C． D．8．如图，直线AB与CD相交于点O，OD为∠BOE的平分线，OE⊥OF，若∠AOF：∠AOC＝4：7，则∠DOE的度数为（）A．20° B．28° C．30° D．35°9．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是A． B． C． D．10．如图，与在同一平面内，其半径都是．将固定，让从上的一点出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。只填写最后结果。11．因式分解：．12．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是．（写出一个值即可）13．计算：．14．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为．15．甲、乙两人同时解关于、的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为则的值应为．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．计算与化简：（1）；（2）；（3）先化简，再求值：，其中．17．（1）因式分解：．（2）如图，在半径为的圆形纸片上，剪去4个半径均为的圆形．当，时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积．（用含的式子表示）18．在一次60秒跳绳的体育测试中，体育老师统计了全班同学的跳绳次数，并绘制了如下不完整的统计图表．分组频数3417861请结合以上统计图表，回答下列问题．（1）这个班有多少名同学参加了测试？（2）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角的度数；（3）请根据以上信息，写出你得到的结论．（写出一条即可）19．阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据．已知：如图，在△中，，直线分别交，和的延长线于点，，．求证：．证明：在△中．，所以，在△中．，所以，因为，所以，所以．20．为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如表所示：类别进价（元套）标价（元套）甲8095乙105125（1）该书店购进甲、乙两种图书各多少套？（2）在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？21．如图，直线，将一直角三角板放置在与之间，顶点在直线上，顶点在直线上，．直线分别交，于点，，的平分线交直线于点．（1）试判断和的数量关系，并说明理由；（2）若直线，将三角板沿向左平移，点与点不重合，设．求的度数．（用含的代数式表示）22．如图，长为10，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影部分，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．（1）由图可知，每个小长方形较长一边长为．（用含的代数式表示）（2）分别用含，的代数式表示阴影部分，的面积．（3）当取何值时，阴影部分与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分与阴影部分的面积之差．23．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式．【探索发现】（1）用四个长与宽分别为，的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为：；（2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为，，斜边长为，拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证，，之间的等量关系．【拓展提升】（3）对于自然数中前个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，，．请你依据这个图形补全下面的等式：．（4）类似地，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，，，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于的等式．

参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。1．如图，在△中，，，则的度数为A． B． C． D．解：在△中，，则，，，故选：．2．据测定，杨絮纤维的直径约为，其中0.0000105用科学记数法表示为A． B． C． D．解：．故选：．3．下列调查中，适合采用抽样调查的是A．对乘坐飞机的乘客进行安检 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞性能 C．了解全班同学的视力情况 D．检测“嫦娥六号”月球探测器零部件的质量解：对乘坐飞机的乘客进行安检适合采用全面调查，则不符合题意，调查某品牌新能源汽车的抗撞性能适合采用抽样调查，则符合题意，了解全班同学的视力情况适合采用全面调查，则不符合题意，检测“嫦娥六号”月球探测器零部件的质量适合采用全面调查，则不符合题意，故选：．4．如图，已知，，，则的度数为A． B． C． D．解：如图，作，，，，，，，，，，，故选：．5．解关于，的方程组，下列消元方法正确的是A．②①，消去 B．由②得代入①，消去 C．①②，消去 D．由②得代入①，消去解：要消去，可将①②，故选项正确，选项错误；由②，得代入①，可消去，故选项、错误．故选：．6．如图，正五边形的对角线与相交于点，则的度数为A． B． C． D．解：五边形为正五边形，，，，，，故选：．7．下列运算正确的是A． B． C． D．解：，故选项错误，不符合题意；，故选项正确，符合题意；，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；故选：．8．如图，直线AB与CD相交于点O，OD为∠BOE的平分线，OE⊥OF，若∠AOF：∠AOC＝4：7，则∠DOE的度数为（）A．20° B．28° C．30° D．35°解：∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∵∠AOF：∠AOC＝4：7，∴∠AOF＝4x°，∠AOC＝7x°，∴∠AOC＝∠BOD＝7x°，∵OD为∠BOE的平分线，∴∠DOE＝∠BOD＝7x°，∵∠AOC+∠AOF+∠EOF+∠DOE＝180°，∴7x+4x+90+7x＝180，解得：x＝5，∴∠DOE＝35°，故选：D．9．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是A． B． C． D．解：由题意可得，，故选：．10．如图，与在同一平面内，其半径都是．将固定，让从上的一点出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：当沿的边缘滚动时，的圆心到圆心的距离始终等于两圆半径之和，两圆半径都是，的圆心到圆心的距离为，是一个定值．而同心圆是指圆心相同，半径不同的圆．这里的圆心形成的轨迹是以的圆心为圆心，为半径的圆，与是同心圆，所以①正确．的圆心形成的轨迹是以的圆心为圆心，为半径的圆．根据圆的周长公式（其中表示周长，为圆周率，为半径），这里，则圆心经过的路程，所以②错误．的圆心经过的路程是，而自身的周长．圆滚动的周数等于圆心经过的路程除以圆自身的周长，即（周，自身转了2周，③正确．故选：．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。只填写最后结果。11．因式分解：．解：原式，故答案为：．12．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是（答案不唯一）．（写出一个值即可）解：当时，，而，说明命题“若，则”是假命题，故答案为：（答案不唯一）．13．计算：．解：，故答案为：．14．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为12．解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：．故答案为：12．15．甲、乙两人同时解关于、的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为则的值应为7．解：把，代入方程，得，解得：，甲解得正确解为，乙抄错了，解得错误结果为，得方程组，①②，得，把代入①，得，解得：，．故答案为：7．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．计算与化简：（1）；（2）；（3）先化简，再求值：，其中．解：（1）；（2）；（3），，当时，原式．17．（1）因式分解：．（2）如图，在半径为的圆形纸片上，剪去4个半径均为的圆形．当，时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积．（用含的式子表示）解：（1）；（2）因为，，．答：剩余部分的面积是．18．在一次60秒跳绳的体育测试中，体育老师统计了全班同学的跳绳次数，并绘制了如下不完整的统计图表．分组频数3417861请结合以上统计图表，回答下列问题．（1）这个班有多少名同学参加了测试？（2）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角的度数；（3）请根据以上信息，写出你得到的结论．（写出一条即可）解：（1）（名，答：这个班有48名同学参加了测试；（2）的人数（名，补全直方图如下：扇形统计图中圆心角的度数为；（3）由频数分布直方图知，的人数最多（答案不唯一）．19．阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据．已知：如图，在△中，，直线分别交，和的延长线于点，，．求证：．证明：在△中．，三角形内角和定理所以，在△中．，所以，因为，所以，所以．【解答】证明：在△中，，（三角形内角和定理）所以，（等式的性质）在△中，，所以，因为，所以，所以．（等量代换）故答案为：三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换．20．为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如表所示：类别进价（元套）标价（元套）甲8095乙105125（1）该书店购进甲、乙两种图书各多少套？（2）在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？解：（1）设该书店购进套甲种图书，套乙种图书，根据题意得：，解得：．答：该书店购进600套甲种图书，400套乙种图书；（2）设书店应将乙种图书按标价的折销售，根据题意得：，解得：．答：书店应将乙种图书按标价的九六折销售．21．如图，直线，将一直角三角板放置在与之间，顶点在直线上，顶点在直线上，．直线分别交，于点，，的平分线交直线于点．（1）试判断和的数量关系，并说明理由；（2）若直线，将三角板沿向左平移，点与点不重合，设．求的度数．（用含的代数式表示）解：（1），理由如下：，，平分，，，；（2）如图，，，，，，，，，平分，，；如图，同理，，，，，，平分，，；综上，的度数为．22．如图，长为10，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影部分，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．（1）由图可知，每个小长方形较长一边长为．（用含的代数式表示）（2）分别用含，的代数式表示阴影部分，的面积．（3）当取何值时，阴影部分与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分与阴影部分的面积之差．解：（1）由图可知每个小长方形较长一边长为．故答案为：；（2），．（3），