全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第53讲双曲线【答案】作业手册

第53讲双曲线1.D[解析]由题知2b=7×2a,即ba=7,则双曲线的离心率e=ca=1+b2a2.D[解析]若双曲线x22m-y2无解;若双曲线x22m-y2m-6=1的焦点在y轴上,则2m<0,3.B[解析]因为双曲线C1与双曲线C2:x24-y2=1的渐近线相同,所以设双曲线C1的方程为x24-y2=m,因为双曲线C1过点(2,2),所以44-2=m,即m=-1,所以双曲线C1的方程为y2-4.A[解析]设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是一条射线,故选A.5.D[解析]设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则由已知得r12+r22=4c2=20,r1·r2=2,又|r1-r2|2=r12+r22-2r1r2=16,∴4a2=16,即a2=4,又∵c=5,∴b2=1,∴双曲线的标准方程为6.AB[解析]方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥2,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足x22-y2=1,此时yx=12,故C错误;对于选项D,取x=32,y=-24,满足x22-y2=1,此时|x-方法二:易知点(x,y)在双曲线x22-y2=1上,根据双曲线上点的横坐标的范围可知|x|≥2,故A正确;x2+y2表示双曲线上一点到原点的距离的平方,双曲线的实半轴长为2,故x2+y2≥2,故B正确;yx表示双曲线上一点与原点连线的斜率,双曲线的渐近线的斜率为±ba=±22,故-22<yx<22,故C错误;对于D,取x=32,y=-24,满足x22-y7.(1,e)[解析]由题意可知(lnm-1)(m-1)<0,解得1<m<e,故m的取值范围是(1,e).8.3[解析]由对称性可知,A,B两点关于原点对称,由点A在直线y=x上,可设A(x0,x0)(x0>0),所以B(-x0,-x0),由A,B两点的横坐标之积为-8,得x0·(-x0)=-8,可得x0=22,所以A(22,22).将点A的坐标代入双曲线方程得8a2-1=1,可得a=2,所以c=a2+b2=23,所以双曲线的离心率为9.解:(1)由题意得双曲线的标准方程为x24-y26=1,可得a=2,b=6,c=10,故顶点坐标为(-2,0),(2,0),焦点坐标为(-离心率e=ca=102,渐近线方程为y=±(2)∵点Q(x0,y0)在双曲线上,∴y02=6∵点Q在第一象限内,∴x0>2,又F1(-10,0),F2(10,0),∴QF1·QF2=(-10-x0,-y0)·(10-x0,-y0)=x02-10+y0210.A[解析]依题意得F1(-23,0),F2(23,0),直线l的倾斜角为30°,即∠AF1F2=30°,如图,取AB的中点D,连接F2D,由|AF2|=|BF2|,得DF2⊥AB,则|DF2|=|F1F2|sin30°=23,|DF1|=|F1F2|cos30°=6,|BF2|=|AF2|=2a+|AF1|,|BF1|=2a+|BF2|=4a+|AF1|,则|AD|=12|AB|=12(|BF1|-|AF1|)=2a,故|AF2|=|DF1|=6.在Rt△ADF2中,2a=|AD|=62-(23)2=26,解得a=6,故b=c2-a2=11.A[解析]如图,不妨设直线MN的斜率大于0,设直线MN与圆D相切于点A,连接OA,则OA⊥MN.作F2B∥OA,交MN于点B,因为|OF1|=c,|OA|=a,所以|AF1|=b.又O为F1F2的中点,所以|BF1|=2b,|BF2|=2a.又cos∠F1NF2=35,MN⊥BF2,所以可设|BN|=3t,|BF2|=4t,|NF2|=5t.由2a=4t得t=a2,根据双曲线的定义得|NF1|-|NF2|=2a,即3a2+2b-52a=2a,得2b=3a,所以9a2=4b2=4(c2-a2),可得13a2=4c2,即c2a2=134,所以双曲线C的离心率12.ABD[解析]对于A,记双曲线C的焦距为2c,则F2(c,0),|AF2|=|DF2|=74|F1F2|=72c.如图,在Rt△DOF2中,|OF2|=c,|DF2|=72c,由勾股定理得|OD|=72c2-c2=352c,过点A作x轴的垂线,垂足为M,由|AF2|=|DF2|,∠AF2M=∠DF2O,∠AMF2=∠DOF2,可得△AF2M≌△DF2O,故|MA|=|OD|=35c2,|MF2|=|OF2|=c,则|MO|=2c,即A2c,35c2,所以kAF2=35c2-02c-c=35c2c=352,选项A正确.对于B,将点A2c,35c2(-1)×-35c23+1=35c4=354a2+b2=354a2+3a2=352a,所以点D到C上点的距离大于352a,选项C错误.对于D,由b=3a得双曲线C的方程可化为3x2-y2=3a2,由F2(2a,0),A(4a,35a)得直线l的方程为y=352(x-2a),将y=352(x-2a)与3x2-y2=3a2联立并消去y,整理得11x2-60ax+64a2=0,记B(x113.2-1[解析]由题可知,点P在第四象限,∠F1PF2=90°.设∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2.由kPF2=tanθ1=2,可得sinθ1=63.因为∠F1PF2=90°,所以kPF1·kPF2=-1,可得kPF1=-22,故tanθ2=22,可得sinθ2=33.由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sinθ1∶sinθ2∶sin90°=2∶1∶3.设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=3m.由S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2m·m=22,得m=2,则|PF2|=2,|14.解:(1)在直角三角形MF1F2中,因为∠MF1F2=30°,所以tan∠MF1F2=|MF2||F1F2|=|MF2|2c=33,cos∠MF1F2=|由双曲线的定义可知|MF1|-|MF2|=2a=2,即433c-233c=2,解得由c=1+b2,得b2=2,所以双曲线C的方程是x2-y(2)设P(x0,y0)是双曲线C上任意一点,则2x02-y双曲线C的两条渐近线为l1:2x-y=0,l2:2x+y=0,设l1:2x-y=0的倾斜角为α,则tanα=2,设两条渐近线在第一、四象限的部分(包括原点)构成的角为θ,则cosθ=cos2α=1-tan2α1+tan2α=-1不妨设P1在l1上,P2在l2上,则|PP1|=|2x0-y0所以PP1·PP2=|2x0-y0|3·|15.3-2[解析]如图,设F关于原点O的对称点为F',则F'(2,-2),连接FF',RF',OM.曲线y=-1x是以F(-2,2),F'(2,-2)为焦点,实轴长为22的等轴双曲线,所以|RF|-|RF'|=22,又O,N分别为FF',RF的中点,故|NF|-|ON|=2.在Rt△MFO中,|OF|=2,|OM|=1,则|MF|=3,所以|ON|-|MN|=|NF|-2-|MN|=