全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第53讲双曲线【答案】听课手册

第53讲双曲线●课前基础巩固【知识聚焦】1.距离的差的绝对值焦点焦距(1)a<c(2)a=c(3)a>c3.x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)±bax±abx(1,+∞)a2+2a2b【对点演练】1.4(0,-5),(0,5)y=±43[解析]把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程,得y242-x232=1.由此可知,a=4,b=3,故c=a22.x28-y28=1[解析]设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)的坐标代入,得λ=8,故所求双曲线的方程为x3.(0,2)[解析]要使x2t+y2t-2=1表示双曲线,只需t(t4.17[解析]由题意知|PF1|=9<a+c=10,所以点P在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17.5.双曲线x29-[解析]设满足题意的点为点P,由题意知|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,则点P在以F1,F2为焦点,且实轴长为6的双曲线的右支上.设该双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),半焦距为c,则a=3,c=4,故b2=c2-a26.2或233[解析]若双曲线的焦点在x轴上,则设双曲线的方程为x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),则其渐近线的方程为y=±b1a1x,由题意可得b1a1=tanπ3=3,即b1=3a1,可得c1=2a1,此时离心率为c1a1=2.若双曲线的焦点在y轴上,则设双曲线的方程为y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0),则其渐近线的方程为y=±a2●课堂考点探究例1[思路点拨](1)利用两圆相切的性质,分类讨论,即可求出动圆M的圆心的轨迹方程.(2)根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2,结合|PF1|·|PF2|=15求得|PF1|+|PF2|,结合|F1F2|的值,即可求得△PF1F2的周长;利用余弦定理求出cos∠F1PF2,进而得到sin∠F1PF2,结合三角形的面积公式即可求△PF1F2的面积.(1)x24-y25=1[解析](1)设圆(x+3)2+y2=4与圆(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1,F2,动圆M的半径为r.因为|F1F2|=6,所以当动圆M的半径小于2时,与其中一个圆内切后,不可能与另一个圆外切,显然r≠2,所以r>2.当动圆M与圆(x+3)2+y2=4内切、与圆(x-3)2+y2=4外切时,有|MF1|=r-2,|MF2|=r+2,则|MF2|-|MF1|=4<6,所以动圆M的圆心的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支;当动圆M与圆(x+3)2+y2=4外切、与圆(x-3)2+y2=4内切时,有|MF1|=r+2,|MF2|=r-2,则|MF1|-|MF2|=4<6,所以动圆M的圆心的轨迹是以F(2)根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2,|F1F2|=2×1+3=4.因为|PF1|·|PF2|=15,所以(|PF1|+|PF2|)2=||PF1|-|PF2||2+4|PF1|·|PF2|=22+4×15=64,可得|PF1|+|PF2|=8,则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+4=12.在△PF1F2中,根据余弦定理得cos∠F1PF2=|P(|P64-2×15-1630=35,则sin∠F1PF2=1-cos2∠F1PF2=45,故S△PF1F变式题(1)C(2)B[解析](1)若||PF1|-|PF2||=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为x216-y29=1.因为直线y=34x是该双曲线的一条渐近线,所以||PF1|-|PF(2)由x24-y22=1,可知a=2,b=2,c=6.如图,由对称性,不妨设点P在第一象限,设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y),由双曲线的定义得x-y=2a=4.∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=(2c)2=24,∴2xy=x2+y2-(x-y)2=8,∴xy=4,∴△F1PF2的面积为12xy例2[思路点拨](1)由焦点坐标特征设出双曲线方程,根据双曲线的定义得到a=3,由焦点坐标得到c=4,进而得到b2=7,即可求出双曲线的标准方程.(2)根据题意可设双曲线M的方程为x24λ-y23λ=1,λ(1)y29-x27=1(2)3x28-y22=1[解析](1)由题意得,双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),因为||PF1|-|PF2||=2a=6,所以a=3,又双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,-4),则c(2)设双曲线M的方程为x24λ-y23λ=1,λ>0,将点P(2,1)的坐标代入,得44λ-13λ=1,解得λ变式题(1)D(2)D[解析](1)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为a2c,abc,故kPF1=abca2c+c=aba2+c2=(2)由题意设双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),由题意可知a=12.由PF1⊥PF2,|PF1可得c=32,故b=c2-a2=2,故双曲线C的方程为4y2-例3[思路点拨]设双曲线的焦距为2c,由条件可求出c,求出双曲线C的焦点坐标及渐近线方程,根据点到直线的距离公式求焦点到渐近线的距离,从而得到b,由a,b,c的关系求a,进而可得渐近线方程.A[解析]设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,则2c=43,故c=23,所以焦点坐标为(±23,0).因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0,所以双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离d=23bb2+a2=例4[思路点拨](1)思路一:由焦点坐标得到c,由双曲线的定义得到a,即可求解;思路二:设出双曲线的方程,根据双曲线的焦点坐标得到c,根据a2+b2=c2及点(-6,4)在双曲线上得到一个关于a2,b2的方程组,即可求得a,进而可得离心率.(2)设|PF2|=2x(x>0),则|PF1|=3x,在△F1PF2中,利用余弦定理,列出方程,得到x与c的关系,结合双曲线的定义,得到x与a的关系,进而可得双曲线的离心率.(1)C(2)6[解析](1)方法一:记双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4),F2(0,-4),点P(-6,4).因为|F1F2|=2c=8,所以c=4.因为|PF2|-|PF1|=(-6-0)2+(4+4)2-(-方法二:由题意可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).因为双曲线的上、下焦点分别为(0,4),(0,-4),所以c=4.所以16a2-3616-a2=1,所以(a2-64)(a2-4)=0,解得a2=64(舍)或a2=4,所以a=2,所以双曲线的离心率e=c(2)因为2|PF1|=3|PF2|,所以可设|PF2|=2x(x>0),则|PF1|=3x,又因为|F1F2|=2c,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|,所以(3x)2+(2x例5[思路点拨](1)设M,N在渐近线y=-bax上,M位于第二象限,N位于第四象限,根据|OM|=c求出点M的横坐标或者利用直线MN的斜率求出∠MA1O=π2两种方法得出A1M⊥x(2)思路一:设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),利用焦半径公式得到|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a,结合三角形的面积公式即可求解;思路二:设点P在第一象限,|PF1|=r1,|PF2|=r2,利用双曲线的定义、圆的性质,结合三角形的面积公式、二倍角公式即可求解;思路三:设点P在第一象限,|PF1|=r1,|PF2|=r2,利用S△PF1F2=b2tanθ思路四:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,利用三角形的面积公式结合余弦定理即可求解.(1)ACD(2)10[解析](1)设|F1F2|=2c,其中c=a2+b2.由对称性不妨设M,N在渐近线y=-bax上,且M位于第二象限,N位于第四象限,如图.下面用两种方法证明A1M方法一(代数法):设点Mx0,-bax0(x0<0),由|OM|=c(O为坐标原点),得x02+-bax02=c,解得x0=a(舍去)或x0=-a,所以M(-a,b),同理可得N(a,-b).又A1(-方法二(几何法):由直线MN的斜率为-ba,得tan∠A1OM=ba(O为坐标原点),可知cos∠A1OM=ac.在△A1OM中,|OM|=c,|OA1|=a,由余弦定理得|A1M|=b,所以|A1M|2+|OA1|2=|OM|2,故∠MA1O=π2,所以A1M⊥x轴,同理可得A2N⊥x轴.由对称性知∠NA2M=∠NA1M=5π6,又∠MA1A2=∠NA2A1=π2,所以∠NA1A2=∠MA2A1=π3,所以∠A1MA2=π6,故选项A正确.在Rt△A1MA2中,|MA1|=32|MA2|,而当M位于第四象限,N位于第二象限时,|MA1|=233|MA2|,故|MA1|=2|MA2|不正确,故选项B错误.由题意知|MA1|=3|A1A2|,故b=23a,所以c=13a,故C的离心率为ca=13,故选项C正确.当a=2时,四边形NA1MA2的面积为2×12|MA1|·|A(2)方法一:由题意知a2=7,b2=9,所以c2=a2+b2=16,所以a=7,b=3,c=4,|F1F2|=8.由对称性可设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则|PF1|=ex0+a=4x07+7,|PF2|=ex0-a=4x07-7.设△PF1F2内切圆的半径为r,则S△PF1F2=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=12|F1F2|·|y0|,又r=1,y0>0,所以x0=7(y0-1),又因为x027-y029方法二:不妨设点P在第一象限,O为坐标原点,如图①,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,△PF1F2内切圆的圆心为I,连接IF1,IF2,IP,易知|F1F2|=2×7+9=8,r1=r2+27,则S△PF1F2=12(r2+r2+27+8)·1=4+7+r2.设PF1,PF2,F1F2分别与圆I相切于点M,T,N,双曲线的右顶点为G,连接IM,IT,IN,则|PM|=|PT|,|MF1|=|F1N|,|F2N|=|F2T|,即|PF1|-|PF2|=|PM|+|MF1|-(|PT|+|F2T|)=|MF1|-|F2T|=|F1N|-|F2N|=2a,又因为|F1G|-|F2G|=2a,所以N与G重合,即IN⊥F1F2,所以圆I与x轴相切于双曲线的右顶点处,|F2G|=|OF2|-|ON|=c-a=4-7,可得|IF2|=|IG|2+|F2G|2=24-87,可得sin∠IF2O=124-87,cos∠IF2O=4-724-87,则sin2∠IF2O=2sin∠IF2Ocos∠IF2O=4-74(3-7),故方法三:由题意知a2=7,b2=9,所以c2=a2+b2=16,所以a=7,b=3,c=4.不妨设点P在第一象限,O为坐标原点,如图②,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,△PF1F2内切圆的圆心为I,连接IF1,IF2,IP,设PF1,PF2,F1F2分别与圆I相切于点M,T,N,双曲线的右顶点为G,连接IM,IT,IN,则|PM|=|PT|,|MF1|=|F1N|,|F2N|=|F2T|,即|PF1|-|PF2|=|PM|+|MF1|-(|PT|+|F2T|)=|MF1|-|F2T|=|F1N|-|F2N|=2a,又因为|F1G|-|F2G|=2a,所以N与G重合,即IN⊥F1F2,所以圆I与x轴相切于双曲线的右顶点处,则tan∠IF2O=1c-a=14-7,tan∠IF1O=1c+a=14+7,则tan∠F1PF22=tanπ2-∠IF1O-∠IF2O=1tan(∠ 方法四:由题意知|F1F2|=8.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=12r1r2sinθ=12(r1+r2+8),即r1r2sinθ=r1+r2+8①.在△F1PF2中,由余弦定理得82=r12+r22-2r1r2cosθ,所以(r1-r2)2+2r1r2-2r1r2cosθ=64,又|r1-r2|=27,所以r1r2-18=r1r2cosθ②.设r1+r2=m,则r1r2=(r1+r2)2-(r1-【应用演练】1.C[解析]由双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,得ca=a2+b2a=2,即b2=3a2,即b=2.BCD[解析]双曲线E:x2-y2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±bx.圆C:x2+(y-2)2=1的圆心为C(0,2),半径为1.由双曲线E的渐近线与圆C相切,可得21+b2=1,又b>0,所以b=3,所以A错误;双曲线E的方程为x2-y23=1,设双曲线E的半焦距为c,则c=1+3=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),因为C(0,2),所以|CF1|=|CF2|=22,又|F1F2|=4,所以|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2,