全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题58增分微课8空间中的动态问题

增分微课8空间中的动态问题【备选理由】例1是动点轨迹问题;例2是动态变化过程中的最值问题;例3是折叠与探究性问题相结合的问题.例1[配例1使用](多选题)[2026·广西示范性高中期中]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱A1B1的中点,点Q在侧面DCC1D1内运动,则下列结论正确是 (AB)A.若BQ⊥A1C,则动点Q的轨迹是线段B.若BQ=2,则动点Q的轨迹是圆的一部分C.若∠QBC1=∠PBC1,则动点Q的轨迹是椭圆的一部分D.若点Q到AB与DD1的距离相等,则动点Q的轨迹是双曲线的一部分[解析]对于A,如图①,连接AC,BD,BC1,C1D,易得AA1⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AC⊥BD,AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C,所以BD⊥平面AA1C,又A1C⊂平面AA1C,所以BD⊥A1C,同理可得,BC1⊥A1C,又BC1∩BD=B,BC1,BD⊂平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D,若BQ⊥A1C,则Q∈平面BC1D,又Q∈侧面DCC1D1,所以动点Q的轨迹是平面BC1D与侧面DCC1D1的交线段C1D,故A正确;对于B,如图②,连接CQ,因为BC⊥平面DCC1D1,CQ⊂平面DCC1D1,所以BC⊥CQ,所以△BCQ是直角三角形,又BC=1,BQ=2,所以CQ=1,即动点Q的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆弧C1D,故B正确; 对于C,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图③,则B(1,1,0),C1(0,1,1),P1,12,1,C(0,1,0),则BP=0,-12,1,BC1=(-1,0,1),设Q(0,y,z)(0≤y,z≤1),所以BQ=(-1,y-1,z),因为∠QBC1=∠PBC1,所以|cos<BP,BC1>|=|cos<BQ,BC1>|,即12×54=|1+z|2·1+(y-1)2+z2,得(z+5)224-(y-1)26=1,所以动点Q的轨迹是双曲线的一部分,故C错误;对于D,Q到例2[配例3使用][2026·江苏镇江期末]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:AB⊥平面BB1C1C.(2)证明:BF⊥DE.(3)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE的夹角的正弦值最小?并求此最小值.解:(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.因为A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,又BB1∩BF=B,BF⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,所以AB⊥平面BB1C1C.(2)证明:由(1)知BA,BC,BB1两两垂直,以B为坐标原点,以BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,所以B(0,0,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).设D(a,0,2)(0≤a≤2).因为BF=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2),所以BF·DE=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,所以BF⊥DE.(3)EF=(-1,1,1),DE=(1-a,1,-2),设平面DFE的法向量为n=(x,y,z),所以n·EF=0,n·DE=0,即-x+y+易知平面BB1C1C的一个法向量为BA=(2,0,0).设平面BB1C1C与平面DEF的夹角为θ,则|cosθ|=|n·BA||因为sinθ=1-cos2θ,所以当|cosθ|可知2a2-2a+14=2a-122+272,当a=12时,2a2此时|cosθ|取得最大值3272=63,则sinθ的最小值为1-632=33例3[配例2使用][2025·河南名校模拟]如图①,在半径为2的扇形POQ中,∠POQ=π3,C是弧PQ上的动点(不含P,Q),过C点作CD∥OQ,交OP于点D.当△OCD的面积取得最大值时,将扇形OCQ沿着OC折起到扇形OCE,使得平面OCE⊥平面OPC(如图②)(1)求图②中OD的长度.(2)求图②中直线CD与PE所成角的余弦值.(3)探究在图②中的线段OE上是否存在点M,使得四面体MOCP内切球的半径为13?并说明理由 解:(1)因为∠POQ=π3,CD∥OQ,所以∠CDP=π3,∠CDO=设∠COD=α0<α<π3,则∠OCD在△OCD中,由正弦定理得OCsin∠CDO=即2sin2π3=ODsinπ3-α所以S△OCD=12OC·OD·sinα=433sinπ3-αsinα=因为0<α<π3,所以π6<2α+π6所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S△OCD取得最大值,此时OD=433所以OD的长度为23(2)如图,以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(3,1,0),D233,0,0所以CD=-33,-1,设直线CD与PE所成的角为θ,则cosθ=|cos<CD,PE>|=|CD·PE||所以直线CD与PE所成角的余弦值为24(3)不存在,理由如下:由(2)知CP=(2-3,-1,0),PE=-1则CP=CE=(2-3)2+(-1)所以S△OPE=12×2×22-S△OCP=S△OCE=12×2×2×sinπS△PCE=12×