全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第26讲三角函数的图象与性质【正文】听课手册

第26讲三角函数的图象与性质【课标要求】1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在-π21.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).

(2)在函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数性质y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR

(续表)函数性质y=sinxy=cosxy=tanx值域

R最小正周期2π

奇偶性

单调递增区间

单调递减区间

无对称中心

对称轴方程

无常用结论1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T,其中T为最小正周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T,其中3.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=π2+kπ(k∈(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).题组一常识题1.[教材改编]用“五点法”画y=3sinx,x∈[0,2π]的图象时,下列点π6,32,2.[教材改编]函数y=2-cosx2(x∈R)的值域为,当该函数取最大值时对应的x=,该函数的最小正周期为3.[教材改编]函数f(x)=12sin-x-π3,4.[教材改编]函数y=2tanx-π题组二常错题◆索引:记错y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))中ω与最小正周期T的关系致误;忽视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的取值范围致误;忽视自变量系数的符号致误.5.设ω为实数,函数f(x)=3sinωx-π3的最小正周期为π,则ω6.函数y=-sin2x+3cosx-1的最大值为.

7.函数y=2sinx-π3(x∈8.函数y=2sin-x+π6(x∈[0,π])的最小值是,此时三角函数的定义域例1(1)函数y=lg(2sinx+1)的定义域为 ()A.xB.xC.xD.x(2)函数f(x)=tan2xtanx的定义域为 A.xB.xC.xD.x总结反思求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数的图象,对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解.变式题函数y=sinx-cos三角函数的值域或最值例2(1)[2024·全国甲卷]函数f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是.

(2)函数f(x)=cos2x+2|sinx|(x∈[0,2π])的值域为.

总结反思求三角函数的值域(最值)的几种方法:①形如y=asinx+bcosx+c的函数,可化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);②形如y=asin2x+bsinx+c的函数,可设t=sinx,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的函数,可设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);④形如y=sinx+asinx的函数,可设t=sinx,化为y=t+a变式题(1)[2024·天津卷]已知函数f(x)=sin3ωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在-π12,A.-32 B.-32 C.0 D(2)[2025·安徽师范大学附中适应性检测]已知函数y=sinπx,x∈56,mm>56A.32B.32,C.32D.32,(3)已知函数f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,则f(x)的最大值为.

三角函数的周期性、奇偶性、对称性例3已知函数f(x)=2sin(2ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))为偶函数,且函数f(x)的最小正周期为π.(1)求ω与φ的值;(2)若g(x)=f(x)+2sin2x,求g(x)图象的对称轴和对称中心.

总结反思1.求三角函数的最小正周期的常用方法:(1)公式法;(2)图象法.2.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的对称性与最小正周期T之间有如下结论:①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点(a,0)与点(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则最小正周期T=4|b-a|.变式题(1)[2025·全国一卷]已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-π3图象的一个对称中心,则a的最小值为 A.π4 B.C.π2 D.(2)(多选题)函数f(x)=3sin2x-π3+φ+1,φ∈(0,π),且f(A.φ=5πB.f(x)图象的对称中心为π4+kπC.f(x)图象的对称轴方程为x=π2+kπ,k∈D.f(x)的单调递减区间为-π2+k(3)(多选题)[2025·甘肃兰州二模]若函数f(x)=|sinx|+|cosx|,则 ()A.函数f(x)的最小正周期为πB.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴C.函数f(x)的图象有对称中心D.若f(x)=m,x∈[0,2π)有四个解,则m=1三角函数的单调性例4(1)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ()A.f(x)在-πB.f(x)在-πC.f(x)在0,D.f(x)在π4(2)[2025·黄石保温练]已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,且fπ2>f(π),则f(x)的单调递增区间是 A.kπ-π3B.kπ,kπ+C.kπ+π6,D.kπ-π2总结反思(1)解决形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图象利用y=sinx的单调性求解.如果函数中自变量的系数为