离散数学-教案 -第3章3.1-3.3 集合的基本概念

课堂教学设计9章节（专题）第3章集合论计划学时2课题（内容）3.1集合的基本概念3.2集合的运算与性质教育教学目的理解集合的相关概念掌握文氏图的画法3.掌握集合的表示及其基本运算3.思政目标：通过学习集合的基本概念和基本运算，提升学生分析和解决问题的能力，培养严谨的逻辑思维。通过集合在实际生活中的应用案例，帮助学生理解逻辑思维在社会治理、资源分配中的作用，培养其社会责任感。教学重点及难点1.重点：文氏图的画法、集合的运算2.难点：集合的运算、幂集教学方法及手段1.讲授法2.互动式教学3.多媒体辅助教学教学互动环节设计1.课程回顾导入新课（结合高中知识，谈谈对集合的认识）2.启发式提问引发课堂讨论（对集合“双重身份”的理解）3.强化练习：集合运算，通过学习通，进行实时练习。课后总结与反思第3章集合的基本概念和运算思政内容：从集合论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。3.1集合的基本概念集合定义与表示集合:没有精确的数学定义理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表示:列举法（枚举法）{a,b,c}、{秦始皇，汉武帝}{1,2,4,7,11,…}{0,0.1,0100072,0.2345,0.99999,…}描述法（谓词表示法）A={x|P(x)}（A中的元素均满足谓词P，而A以外的元素一个也不满足P）{x|x是整数且x>0}、{x|x2-2x+1=0}{x|x出生于大连}、{x|x是0到1区间的实数}常用数集:N,Z,Q,R,C分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0是自然数.集合与元素元素与集合的关系：隶属关系属于，不属于实例A={x|xRx2-1=0},A={-1,1}1A,2A注意：对于任何集合A和元素x(可以是集合)，xA和xA两者成立其一，且仅成立其一.集合之间的关系包含（子集）ABx(xAxB)不包含A⊈Bx(xAxB)相等A=BABBA不相等AB真包含ABABAB不真包含AB思考：和的定义注意和是不同层次的问题空集与全集空集不含任何元素的集合实例{x|x2+1=0xR}就是空集定理空集是任何集合的子集Ax(xxA)T推论空集是惟一的.证假设存在1和2，则12且12，因此1=2全集E在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称此集合为全集，记作E.在给定问题中，全集包含任何集合，即A(AE)全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集.幂集(1)含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元子集.A＝{1,2,3}，将A的子集分类：0元子集，也就是空集，只有一个：；1元子集，即单元集：{1}，{2}，{3}；2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；3元子集：{1,2,3}.（2）幂集设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集,记作P(A)(或2A).定义P(A)={x|xA}(幂集的符号化表示)实例P()={}，P({})={,{}}P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数:如果|A|=n，则|P(A)|=2n3.2集合的运算及性质集合基本运算的定义并AB={x|xAxB}交AB={x|xAxB}相对补AB={x|xAxB}对称差AB=(AB)(BA)=(AB)(AB)绝对补A=EA文氏图表示：常用于表示集合之间的关系可以用一种树形图来表示这种隶属关系，该图分层构成，每个层上的结点都表示一个集合，它的儿子就是它的元素.关于运算的说明运算顺序：和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推广到有穷个集合上，即A1A2…An={x|xA1xA2…xAn}A1A2…An={x|xA1xA2…xAn}某些重要结果ABAABAB=（后面证明）AB=AB=A集合运算的算律集合包含或相等的证明方法证明XY命题演算法\包含传递法\等价条件法\反证法\并交运算法证明X=Y命题演算法\等式代入法\反证法\运算法以上的X,Y代表集合公式①命题演算法证XY任取x，xX…xY例证明ABP(A)P(B)任取xxP(A)xAxBxP(B)任取xxA{x}A{x}P(A){x}P(B){x}BxB②命题演算法证明X=Y任取x，xX…xYxY…xX或者xX…xY例证明A(AB)=A（吸收律）证任取x,xA(AB)xAxABxA(xAxB)xA课堂教学设计10章节（专题）第3章集合的基本概念和运算计划学时2课题（内容）3.3集合中元素的计数教育教学目的1.掌握有穷集和无穷集的基本概念2.掌握对集合中元素的计数3.课程思政目标：通过集合中元素计数的逻辑推导过程，引导学生锻炼逻辑思维，学会从复杂问题中抽象出关键信息。强调集合论在数学和计算机科学等领域的基础地位，激发学生的求知欲和探索精神。通过讨论集合中元素计数在实际问题中的应用，如人口统计、数据分析等，引导学生认识到数学与社会的紧密联系。教学重点及难点1.重点：集合中元素的计数问题2.难点：包含排斥原理教学方法及手段1.讲授法2.互动式教学3.多媒体辅助教学4.思维导图教学法教学互动环节设计1.课程回顾导入新课（对有穷集和无穷集的理解）2.启发式提问引发课堂讨论（集合计数）3.实例分析与练习：做集合运算课后总结与反思3.3集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A的基数：集合A中的元素数，记作cardA有穷集A：cardA=|A|=n，n为自然数.有穷集的实例：A={a,b,c},cardA=|A|=3；B={x|x2+1=0,xR},cardB=|B|=0无穷集的实例：N,Z,Q,R,C等空集是有限集、空集的基数是0，即||=0使用文氏图解决有穷集的计数问题（1）首先根据已知条件把对应的文氏图画出来.一般地说，每一条性质决定一个集合.有多少条性质，就有多少个集合.如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的．（2）然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内.通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。例1求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？解：S={x|xZ1x1000},如下定义S的3个子集A,B,C：A={x|xSx可被5整除}，B={x|xSx可被6整除}，C={x|xSx可被8整除}|T|表示有穷集T中的元素数,x表示小于等于x的最大整数.对上述子集计数：|S|=1000,|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=166，|C|=1000/8=125,|AB|=1000/30=33,|AC|=1000/40=25,|BC|=1000/24=41,|ABC|=1000/120=8,N=1000(150+100+67)-(25+8+17+33)=600或N=1000(200+166+125)+(33+25+41)8=600包含排斥原理求解有穷集的计数问题包含排斥原理定理设S为有穷集，P1,P2,…,Pm是m种性质，Ai是S中具有性质Pi的元素构成的子集，i=1,2,…,m.则S中不具有性质P1,P2,…,Pm的元素数为证明证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为0.证设x不具有性质P1,P2,…,Pm,xAi,i=1,2,…,mxAiAj,1i<jm…xA1A2…Am,x对右边计数贡献为10+00+…+(1)m·0=1推论：S中至少具有一条性质的元素数为例题：某公司有24名科技人员，每人至少会1门外语。掌握英语的有13人，掌握日语的有5，掌握德语有10人，掌握法语的有9人，同时掌握英语和日语的有2人，英语和德语的有4人，英语和法语的有4人，法语和德语的有4人。会日语的不会法语、德语。则只会1种语言人数及会3种语言人数有多少。解设只会英语、法语、德语的人数分别为。会3种语言的人数为根据题意，构造文氏图如图3.4所示，从而得到如下方程:图3.4例3.8文氏图解得，。所以，只会一种语言的人数是12人，会三语言的人数1人。求欧拉函数的值。欧拉函数是数论中的一个重要函数，在密码学中有着重要作用。设是正整数，表示中与互素的数的个数。例如，，因为与14互素的数有1，3，5，9，11，13。这里约定。下面用容斥原理给出欧拉函数的计算公式。给定正整数，为的素因子分解式，令则有下面计算上式右边的各项由容斥原理例如：即小于15且与15互素的正整数有8个，即1，2，4，7，8，11，13，14。即小于30且与30互素的正整数有8个，即1，7，11，13，17，19，23，29。练习1:在20个大学生中,有10人爱好音乐,有8人爱好美术,有6人既爱好音乐又爱好美术。问不爱好音乐又不爱好美术的学生有多少个？解设所有的大学生的集合为U,爱好音乐的学生集合为A,爱好美术的学生集合为B,既爱好音乐和又爱好美术的学生组成的集合为,则既不爱好音乐又不爱好美术的学生组成的集合为。根据已知有|U|＝20,|A|＝10,|B|＝8,||＝6||＝|A|＋|B|-||＝10＋8-6＝12从而||＝|U|-||＝20-12＝8即,不爱好音乐又不爱好美术的学生有8个。练习2:求下列集合的基数和每个集合的幂集。（1）{1,2,3}（2）{1,2,{1,2}} （3）{{1,2},{3}}（4）{{1,2}}（5）{{a},a}（6）{,a,{b}}练习3：找出下列集合之间的关系。（1）A=