离散数学课件 9.2 代数系统

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离散数学

Discrete

Mathematics第九章代数系统9.1代数运算及性质9.2代数系统9.3几个典型的代数系统9.4应用29.2代数运算及其性质第9章代数系统

代数系统同态与同构

3离散数学代数系统4定义9.9非空集合S和S上的k个运算f1，f2,…，fk组成的系统称为一个代数系统或代数结构，简称代数，记作<S，f1，f2,…，fk>。S称为该代数系统的域。当S是有限集合时，称<S，f1，f2,…，fk>为有限代数系统。

由定义可知，一个代数系统需要满足下面三个条件：

有一个非空集合S;

有一些建立在集合S上的运算；

这些运算在集合S上是封闭的。

在某些代数系统中，二元运算存在幺元或零元，并且它们对该系统的性质起着重要作用，称为该系统的特异元素或代数常数。为了强调这些特异元素的存在，有时也把它们列到代数系统的表达式中。例如<Z,+>的幺元是0，也可记作<Z,+Z,0>。代数系统5定义9.10

设V=<S，f1，f2,…，fk>是代数系统，

，

如果B对f1，f2,…，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<S，f1，f2,…，fk>是V的子代数系统，简称子代数。

对任何代数系统V=<S，f1，f2,…，fk>，其子代数一定存在，最大的子代数就是V本身。如果令V中所有的代数常数构成的集合是B，且对V中所有的运算都是封闭的，那么B就构成了V的最小子代数。这种最大与最小的子代数称为平凡子代数。如果V的子代数V’=<B，f1，f2,…，fk>满足

，则称V’是V的真子代数。代数

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