离散数学课件 9.3 几个典型的代数系统

离散数学

Discrete

Mathematics第九章代数系统9.1代数运算及性质9.2代数系统9.3几个典型的代数系统9.4应用29.3图第9章代数系统

群的定义及性质环与域格与布尔代数3离散数学群的定义及性质4

定义9.14设V=<S,°>是代数系统，°为二元运算。（1）如果°是可结合的，则称V=<S,°>为半群。（2）如果半群V=<S,°>中的二元运算含有幺元，则称V为独异点，也称作含幺半群。为了强调幺元的存在，有时将独异点记作<S,°，e>。（3）如果半群V=<S,°>（独异点V=<S,°，e>）中的二元运算°是可交换的，则称V为可交换半群（可交换独异点）。例如，（1）<Z,+>、<N,+>、<Q,+>、<R,+>都是可交换半群，也都是可交换独异点，其中+表示普通加法，幺元都是0。（2）<Mn(R),●>是半群和独异点，其中●表示矩阵乘法，幺元是单位矩阵E。（3）<P(S),⊕>是可交换半群和独异点，其中⊕表示集合的对称差运算，幺元是

。（4）<Zn,⊕>是可交换半群和独异点，其中Zn={0,1,…，n+1}，⊕表示n模加法，幺元是0。群的定义及性质5

群的定义及性质6

群的定义及性质7

群的定义及性质8例9.7群的定义及性质9定义9.16若群G中的二元运算是可交换的，则称群G为交换群，也称阿贝尔（Abel）群。若群G中有无限多个元素，则称G为无限群，否则称为有限群。对于有限群G，其元素个数也称G的阶，记作|G|。例如Klein四元群、<Zn,⊕>、<Z,+>、<Q,+>、<R,+>都是阿贝尔群，Klein四元群是有限群，其阶是4；<Zn,⊕>也是有限群，其阶是n；<Z,+>、<Q,+>、<R,+>都是无限群.群的定义及性质10

群的定义及性质11

群的定义及性质12

群的定义及性质13

环与域14定义9.20设<R,+,●>是代数系统，R为集合，+、●为二元运算，如果（1）<R,+>为阿贝尔群；（2）<R,●>为半群；（3）●对+适合分配律，则称<R,+,●>是环。为方便起见，也称+为加法，也称●为乘法，其含义可以随运算的定义而不同。

在环<R,+,●>中，如果●适合交换律，则称R是交换环。如果对于●有幺元，则称R是含幺环。为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元，通常把加法幺元记为0，乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法的零元。环与域15

环与域16

环与域17

环与域18例题9.8

(4)R是域。理由如下：

环与域19例题9.8

格与布尔代数20

格与布尔代数21例9.9：判断图9.2中偏序集是否构成格，说明理由。

解

都不是格。图9.2（a）中的{a，b}没有下界，图9.2（b）中的{b，d}有下界c和e，但没有最大下界。图9.2（c）中的{c，e}有上界a、b、f，但没有最小上界格与布尔代数22

格与布尔代数23

格与布尔代数24定义9.24例如图9.3（a）和图9.3（b）是分配格，但9.3（c）和图9.3（d）不是分配格，格与布尔代数25

格与布尔代数26

格与布尔代数27定义9.27

如果有界格中每个元素都至少有一个补元，则称这个格为有补格。显然，图9.4（