高一数学10.3　频率与概率

10.3频率与概率课标要求1.了解频率与概率的关系.2.了解随机模拟的基本过程.3.结合实例，会用频率估计概率.【引入】某个事件发生的概率是对这个事件发生可能性大小的一种度量，这种度量能不能被验证呢？换言之，除了给我们关于事件发生可能性的心理预期外，概率大小究竟有什么实际意义呢？回到抛掷一枚硬币这件事情，正面朝上的概率是eq\f(1,2)，除了硬币质地均匀的原因之外，是否还有其他解解释呢？实际上，概率可以从频率的角度来检验.一、频率的稳定性探究1利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：序号n＝20n＝100n＝500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506你能计算出事件A的概率吗？频率与概率有什么关系？提示(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.【知识梳理】一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).温馨提示频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.例1(1)在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为85%”，这是指()A.明天该地区有85%的地区降水，其他地区不降水B.明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C.气象台的专家中有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水D.明天该地区降水的可能性为85%答案D解析在天气预报中，预报“明天降水概率为85%”，即明天该地区降水的可能性为85%.(2)(链接教材P257T3)下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品频率①计算各组优等品频率，填入上表；②根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.解①根据优等品频率＝eq\f(优等品数,抽取球数)，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.②由①可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.思维升华1.频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.2.频率本身是随机的，在试验前不能确定.3.概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.训练1某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率eq\f(m,n)(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解(1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.二、游戏公平性的判断例2(链接教材P256例2)某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？解该方案是公平的，理由如下：各种情况如下表所示：和45671567826789378910由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率p1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表获胜的概率p2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即p1＝p2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.思维升华游戏规则公平的判断标准及判断方法：(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.训练2在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上数字后，再将该小球放回箱子中摇匀，然后乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的样本点，则样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个.(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个.则P(A)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个.则P(B)＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5)，所以P(C)＝1－P(B)＝eq\f(3,5).因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平.三、用随机模拟试验估计概率探究2(1)用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？(2)随机模拟的步骤是怎样的？提示(1)利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.(2)①建立概率模型；②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；③统计试验结果.【知识梳理】1.产生随机数的方法(1)利用计算器或计算机软件产生随机数.(2)构建模拟试验产生随机数.2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.例3(链接教材P259例3、P260例4)盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球(分三次，每次放回再取)，都是白球.解用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球.(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则eq\f(N1,N)即为任取一球，得到白球的概率的近似值.(2)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则eq\f(K1,K)即为任取三球(分三次，每次放回再取)，都是白球的概率的近似值.思维升华用随机数模拟法求事件概率的方法在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.(1)试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.训练3袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________.答案eq\f(2,9)解析由随机模拟产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021，001，130，031，共4组随机数，所以恰好抽取三次就停止的概率约为eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).【课堂达标】1.某篮球运动员进行投球练习，连续投了100次，恰好投进了90次.若事件A＝“投进球”，则事件A发生的()A.概率为0.9 B.频率为90C.频率为0.9 D.以上说法都不对答案C解析投球一次即进行一次试验，投球100次，投进90次，即事件A发生的频数为90，所以事件A发生的频率为eq\f(90,100)＝0.9.2.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有()A.f(n)与某个常数相等B.f(n)与某个常数的差逐渐减小C.f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定答案D解析由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，随着n的逐渐增加，频率f(n)逐渐趋近于概率.3.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是________.答案eq\f(1,2)解析抛掷一枚质地均匀的硬币，要么正面朝上，要么反面朝上，因此第999次出现正面朝上的概率是eq\f(1,2).4.在用随机(整数)模拟求“有4个男生和5个女生，从中选4人，求选出2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________________.答案选出的4个人中，只有1个男生解析1～4代表男生，5～9代表女生，4678表示一男三女，即“4678”代表的含义是选出的4个人中，只有1个男生.一、基础巩固1.假设每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是eq\f(1,4)，我每题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话()A.正确 B.错误C.不一定正确 D.无法解释答案B解析3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅2道题正确.2.某同学做投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表所示.第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数68125176369命中的频率0.680.6250.5870.615根据表中的信息，用频率估计一次投篮命中的概率的近似值为()A.0.68 B.0.625C.0.587 D.0.615答案D解析随着试验次数的增加，频率逐渐趋近于概率，所以用试验最多次数的频率估计一次投篮命中的概率的近似值为0.615.3.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分).现将参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50，60)，第二组[60，70)，第三组[70，80)，第四组[80，90)，第五组[90，100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.3，0.15，0.1，0.05，而第二小组的频数是40，则估计参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是()A.50，0.15 B.50，0.75C.100，0.15 D.100，0.75答案C解析由题得第二小组的频率是1－0.3－0.15－0.1－0.05＝0.4，频数为40.设参赛人数为x，则0.4x＝40，解得x＝100.因为成绩优秀的频率为0.1＋0.05＝0.15，所以估计成绩优秀的概率为0.15.4.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A.0.50 B.0.45C.0.40 D.0.35答案A解析两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个.它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10个.因此估计所求的概率为eq\f(10,20)＝0.50.5.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是()A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜答案ACD解析选项A中，甲胜、乙胜的概率都是eq\f(1,2)，游戏是公平的；选项B中，“向上的点数之和大于7”的样本点数小于“向上的点数之和小于等于7”的样本点数，则甲胜的概率小于乙胜的概率，游戏不公平；选项C，D中，甲胜、乙胜的概率都是eq\f(1,2)，游戏是公平的.6.在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间(含a和b)的每个整数出现的可能性是________.答案eq\f(1,b－a＋1)解析[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是eq\f(1,b－a＋1).7.有下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；②百分数可以表示频率，但不能表示概率；③频率是不能脱离试验次数n的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的是________(填序号).答案①③④解析概率也可以用百分数表示，故②错误.由概率和频率的定义可知①③④正确.8.为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物400只，做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有25只，按概率的方法估算，保护区内约有________只该种动物.答案8000解析根据题意，设保护区内约有x只这种动物，则有eq\f(400,x)＝eq\f(25,500)，解得x＝8000，则保护区内约有8000只这种动物.9.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种：A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？解(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5，B方案中，“是4的整数倍数”的概率为0.2，“不是4的整数倍数”的概率为0.8，为了尽可能获胜，应选择B方案，猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大.(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.10.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.解设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕出一定量的天鹅，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝eq\f(200,n)①，第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝eq\f(20,150)②，由①②两式，得eq\f(200,n)＝eq\f(20,150)，解得n＝1500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只.二、综合运用11.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是()A.抛一枚硬币，出现正面朝上B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D.从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球答案D解析由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为eq\f(1,6)，不符合，故B错误；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为eq\f(1,4)，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为eq\f(1,3)，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确.12.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：抽查件数50100200300500合格件数4792192285478根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品.答案1000解析由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则eq\f(950,n)≈0.95，所以n≈1000.13.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组频数频率[700，900)48[900，1100)121[1100，1300)208[1300，1500)223[1500，1700)193[1700，1900)165[1900，＋∞)42(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足