高一数学第一课时　古典概型(一)

第一课时古典概型(一)课标要求1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.【引入】研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？一、古典概型的定义探究1我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.【知识梳理】1.事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型的定义我们把具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.温馨提示一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽.这个试验的样本点只有两个：发芽、不发芽.而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型.例1袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？若以球的编号为样本点建立概率模型，则该模型是不是古典概型？(2)若以球的颜色为样本点，则有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等.故以球的编号为样本点的概率模型是古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A＝“摸到白球”，B＝“摸到黑球”，C＝“摸到红球”.因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq\f(1,11).因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为eq\f(5,11).同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为eq\f(3,11).显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.思维升华1.一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性.2.求样本点主要是利用列举法，也可以借助图表和树状图的直观性，避免重复和遗漏.训练1(多选)下列问题中是古典概型的是()A.小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率B.从甲地到乙地共n条路线，且这n条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案BD解析对于选项A，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于选项C，区间[1，4]中的样本点有无限多个，故C不是古典概型；选项B和D中的样本点的发生是等可能的，且是有限个，故选BD.二、古典概型概率的计算公式探究2在掷骰子的试验中，记A事件为“点数为偶数”，A事件包含哪些样本点？A事件发生的概率是多少？提示A＝{2，4，6}.对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同.记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，所以P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)＝eq\f(1,6)，P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).【知识梳理】古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.例2(链接教材P238例9)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：(1)样本空间的样本点的总数n；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率.解由于4个球的大小相等，摸出的每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2,黑3)，(黑2,白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.(3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故p＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，即摸出2个黑球的概率为eq\f(1,2).思维升华求解古典概型“四步”法训练2从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数.(1)求这个两位数是奇数的概率；(2)求这个两位数能被3整除的概率.解(1)这个试验的样本空间Ω＝{13，14，15，18，31，34，35，38，41，43，45，48，51，53，54，58，81，83，84，85}，共包含20个样本点.设“这个两位数是奇数”为事件A，则A＝{13，15，31，35，41，43，45，51，53，81，83，85}，共包含12个样本点，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)设“这个两位数能被3整除”为事件B，则B＝{15，18，45，48，51，54，81，84}，共包含8个样本点，所以P(B)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).三、较复杂的古典概型概率的计算例3(链接教材P237例8)将一颗骰子先后抛掷两次，记录向上的点数，求：(1)点数之和为7的概率；(2)掷出两个4点的概率；(3)点数之和能被3整除的概率.解如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应.由图知，样本点总数为36.(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个(已用虚线圈出)，故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)记“掷出两个4点”为事件B，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4)，故P(B)＝eq\f(1,36).(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，从图中可以看出，事件C包含的样本点共有12个(已用实线圈出)，故P(C)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).思维升华在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.训练3随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2答案C解析如图①所示，坐标平面内的数表示相应同时抛掷两枚骰子出现的点数的和，样本点与所描点一一对应.由图知，样本点总数为36.记“点数之和不超过5”为事件A，从图①中看出，事件A包含的样本点有10个(已用虚线圈出)，故p1＝P(A)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).记“点数之和大于5”为事件B与事件A构成对立事件，则事件B包含的样本点有36－10＝26个，故p2＝P(B)＝eq\f(26,36)＝eq\f(13,18).记“点数之和为偶数”为事件C，从图②中看出事件C包含的样本点有18个(已用实线圈出)，故p3＝P(C)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).所以eq\f(13,18)>eq\f(1,2)>eq\f(5,18)，即p2>p3>p1.【课堂达标】1.(多选)下列是古典概型的是()A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案ABD解析选项A，B，D中的样本点都是有限个，且每个样本点都是等可能的，符合古典概型的定义和特点；选项C不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响.2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是()A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9答案C解析由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取到已过保质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式求得概率是eq\f(5,50)＝0.1.3.在1，3，4，5，8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性都相等，则首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,5)答案D解析根据题意，样本点分别是1，3，4，5，8路公共汽车首先到站，显然共有5个样本点，而这位乘客所要乘的汽车为4路或8路，故所求概率p＝eq\f(2,5).4.从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝______.答案eq\f(2,3)解析从1，2，3中任取两个数字，所有可能的样本点有：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，其中事件A含有两个样本点，故P(A)＝eq\f(2,3).一、基础巩固1.下列是古典概型的是()A.任意抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点答案C解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是古典概型.2.我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案B解析甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为eq\f(1,4).3.若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案D解析甲、乙、丙三人排队的可能顺序有(甲、乙、丙)，(甲、丙、乙)，(乙、甲、丙)，(乙、丙、甲)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)，共6种情况，其中甲不排在第一位的有4种情况，则甲不排在第一位的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4.6把不同的钥匙中只有1把可以打开某个锁，从中任取2把能将该锁打开的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案C解析将6把钥匙分别记为a，b，c，d，e，f，不妨设能打开锁的为钥匙a.从中任取2把有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种情况，能将锁打开的情况有5种，分别为ab，ac，ad，ae，af，故所求概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).5.关于偶数的哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,10) C.eq\f(3,5) D.eq\f(7,10)答案B解析由题意得，5个数中任取2个数，可能为(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(5，7)，(5，11)，(7，11)，共10种情况，2个素数之和仍为素数，则可能为(2，3)，(2，5)，(2，11)，共有3种情况，则所求概率p＝eq\f(3,10).6.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是________.答案eq\f(3,8)解析试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是eq\f(3,8).7.从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________.答案0.2解析两数之和等于5有两种情况(1，4)和(2，3)，总的样本点有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种，所以p＝eq\f(2,10)＝0.2.8.据文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何吕施张表2记录了我国A地区人口最多的前12大姓氏：表21：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴11：徐12：孙从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则这个姓氏是A地人口最多的前12大姓氏的概率为________.答案eq\f(3,8)解析A地人口最多的前12大姓氏也是《百家姓》的前24大姓氏的是赵、李、周、吴、王、陈、杨、张、孙，共9个，故所求概率为eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).9.做投掷2枚骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，写出：(1)试验的样本点；(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点.解(1)这个试验的样本点，列举如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个.(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).10.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).因此，共有10个样本点.(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，则P(A)＝eq\f(3,10)，故摸出2只球都是白球的概率为eq\f(3,10).二、综合运用11.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,10)答案B解析设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共有4个样本点，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率p＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).12.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案B解析用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).13.某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.(1)请列出教师职称