高一数学培优课　与球有关的“切”“接”问题

培优课与球有关的“切”“接”问题课标要求1.能根据几何体的结构特征确定其外接球、内切球的球心.2.会解决简单的与球有关的“切”“接”问题.一、球与长方体(正方体)的“切”“接”例1甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为()A.1∶2∶3 B.1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C.1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,9) D.1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3)答案A解析设正方体的棱长为a.显然，对于正方体的内切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的棱长，即2R甲＝a，所以R甲＝eq\f(a,2).对于正方体的棱切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的面对角线，即2R乙＝eq\r(2)a，所以R乙＝eq\f(\r(2)a,2).对于正方体的外接球，取其对角面，则球的直径等于正方体的体对角线，即2R丙＝eq\r(3)a，所以R丙＝eq\f(\r(3)a,2).所以甲、乙、丙三球的半径的平方之比为1∶2∶3.思维升华处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题.(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.(2)球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方体(长方体)的体对角线长等于球的直径.训练1(链接教材P120T5)长方体的长、宽、高分别为3，eq\r(2)，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为()A.4eq\r(3)π B.12πC.48π D.32eq\r(3)π答案A解析球O的半径为eq\f(\r(32＋（\r(2)）2＋12),2)＝eq\r(3)，∴球O的体积V＝eq\f(4π×（\r(3)）3,3)＝4eq\r(3)π.二、球与其他多面体的“切”“接”例2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为()A.πa2 B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2 D.5πa2答案B解析如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.∵AD＝eq\f(\r(3),2)a，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，OO2＝eq\f(a,2)，∴AOeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(7,12)a2，故该球的表面积S球＝4π×eq\f(7,12)a2＝eq\f(7,3)πa2.思维升华1.特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等.2.对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的切、接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心.训练2三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________.答案4eq\r(3)π解析因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.因为VA－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BC×CD×AB＝eq\f(1,6)×2×CD×2＝eq\f(4,3)，所以CD＝2，∴该长方体为正方体，所以AD＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，外接球体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.三、球与旋转体的“切”“接”例3(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2C.4πRr D.π(R＋r)2(2)(链接教材P119例4)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________.(3)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________.答案(1)C(2)eq\f(3,2)(3)eq\f(9,32)或eq\f(3,32)解析(1)如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr.(2)设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r.所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).(3)①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是eq\f(r,2)，于是圆锥的底面半径为eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)r,2)，高为eq\f(3r,2).该圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)r,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3r,2)＝eq\f(3,8)πr3，球的体积为eq\f(4,3)πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为eq\f(\f(3,8)πr3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(9,32).②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为eq\f(3,32).思维升华由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距离都等于半径确定球心与半径.训练3已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为()A.4eq\r(3)π B.eq\f(2\r(3),27)πC.eq\f(\r(3),27)π D.eq\f(4\r(3),27)π答案D解析由题可知，母线PA＝PB＝2，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示，O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，因为圆锥侧面积为2π，所以eq\f(1,2)(2πr)·PB＝2π，解得r＝1＝EB.由勾股定理得PE2＝PB2－EB2＝4－1＝3，所以PE＝eq\r(3).又因为△POM∽△PBE，所以eq\f(PO,PB)＝eq\f(OM,EB)，即eq\f(\r(3)－R,2)＝eq\f(R,1)，解得R＝eq\f(\r(3),3)，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(3\r(3),27)＝eq\f(4\r(3),27)π.【课堂达标】1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)答案B解析如图，依题意，球的半径r＝1.因为圆柱的高2h＝1，所以圆柱的底面半径r1＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2h,2)))\s\up12(2))＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).故圆柱的体积V＝πreq\o\al(2,1)·2h＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3π,4).2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为()A.72π B.114πC.136π D.144π答案C解析将该直三棱柱补成长方体，该长方体的长、宽、高分别为6，8，6，该直三棱柱的外接球也是长方体的外接球，所以外接球半径R＝eq\f(\r(62＋82＋62),2)＝eq\r(34)，则该直三棱柱外接球的表面积为4πR2＝136π.3.圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为()A.eq\f(32π,3) B.eq\f(64π,3)C.16π D.12π答案A解析设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，则球O的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.4.一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为________，内切球半径为________.答案eq\f(\r(3),2)aeq\f(a,2)解析设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，即2R＝eq\r(3)a，2r＝a，∴R＝eq\f(\r(3),2)a，r＝eq\f(a,2).一、基础巩固1.已知底面半径为eq\r(3)的圆锥的侧面积为6π，则该圆锥的外接球的体积为()A.eq\f(32π,3) B.4eq\r(3)πC.12π D.16π答案A解析如图，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，该圆锥的外接球的半径为R，则πrl＝eq\r(3)πl＝6π，解得l＝2eq\r(3)，∴h＝eq\r(l2－r2)＝3.又R2＝(h－R)2＋r2，即R2＝(3－R)2＋3，解得R＝2.∴该圆锥的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).2.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2eq\r(3)，此三棱柱的高为eq\r(3)，则该三棱柱的外接球的体积为()A.eq\f(8π,3) B.eq\f(16π,3)C.eq\f(32π,3) D.eq\f(64π,3)答案C解析由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为eq\r(（2\r(3)）2＋（\r(3)）2＋12)＝4，设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，所以该长方体的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).3.若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(4\r(3),27)πC.eq\f(4\r(3),9)π D.eq\f(4,9)π答案B解析因为球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，所以圆锥的高为eq\r(3).设球O的半径为r，则eq\f(r,\r(3)－r)＝sin30°，解得r＝eq\f(\r(3),3)，故球O的体积V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4\r(3),27)π.4.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家.他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的eq\f(2,3)，且球的表面积也是圆柱表面积的eq\f(2,3)”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为12π，则该圆柱的内切球体积为()A.eq\f(4,3)π B.8πC.eq\f(8,3)π D.eq\f(8\r(2)π,3)答案D解析设圆柱的底面半径为r，则其母线长l＝2r.圆柱的表面积S圆柱表＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×2r＝12π，解得r＝eq\r(2).圆柱的体积公式V圆柱＝Sh＝πr2·2r＝π×(eq\r(2))2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)π.由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的eq\f(2,3)，所以所求圆柱内切球的体积V＝eq\f(2,3)V圆柱＝eq\f(2,3)×4eq\r(2)π＝eq\f(8\r(2)π,3).5.(多选)已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为eq\r(3)－1，则下列说法正确的是()A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为eq\f(4π,3)C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为2eq\r(3)答案ABC解析设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为eq\f(\r(3),2)a，内切球半径为棱长的一半，为eq\f(a,2).∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(3)－1,2)a＝eq\r(3)－1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确.正方体的外接球的表面积为4π×(eq\r(3))2＝12π，A正确.正方体的内切球的体积为eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3)，B正确.线段MN的最大值为eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(a,2)＝eq\r(3)＋1，D错误.6.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，则该三棱锥的外接球的表面积为________.答案16π解析取PC的中点O(图略)，∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，∴OA＝eq\f(1,2)PC，同理OB＝eq\f(1,2)PC，即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，∴O为外接球的球心，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝4，∴三棱锥P－ABC外接球的半径R＝eq\f(1,2)PC＝2，∴S球＝4πR2＝16π.7.正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为eq\r(2)，点S，A，B，C，D在同一个球面上，则此球的体积为________.答案eq\f(4π,3)解析如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在△ASC中，由SA＝SC＝eq\r(2)，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴eq\f(AC,2)＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球＝eq\f(4π,3).8.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为________.答案16π解析如图，设圆柱底面半径为r，球的半径与圆柱底面夹角为∠OMN＝α，则MN＝r＝R·cosα＝4cosα，ON＝R·sinα＝4sinα，∴圆柱的高h＝8sinα，∴圆柱的侧面积为S＝2π·r·h＝32π·sin2α，当且仅当α＝eq\f(π,4)时，sin2α＝1，圆柱的侧面积最大，为32π.故球的表面积与圆柱的表面积之差为4πR2－2πrh－2πr2＝64π－32π－16π＝16π.9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为eq\f(π,4)，求正方形ABCD的边长.解由题意，折叠后的四面体AEFG如图所示，设正方形边长为a，四面体AEFG外接球的半径为r，则AG＝a，EG＝FG＝eq\f(a,2)，易知在折叠后的四面体AEFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体AEFG的外接球半径r＝eq\f(\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)),2)＝eq\f(\r(6),4)a，由4πr2＝eq\f(π,4)，解得r＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\f(4,\r(6))r＝eq\f(4,\r(6))×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(6),6)，即正方形ABCD的边长为eq\f(\r(6),6).10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2eq\r(2).(1)求AB的长度；(2)求该长方体外接球的表面积.解(1)设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图甲的最短路程为AC1＝eq\r(x2＋4).图甲如图乙的最短路程为AC1＝eq\r(（x＋1）2＋1)＝eq\r(x2＋2x＋2)，图乙∵x>1，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为eq\r(x2＋4).由题意得eq\r(x2＋4)＝2eq\r(2)，解得x＝2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝eq\f(3,2)，∴S＝4πR2＝6π，即该长方体外接球的表面积为6π.二、综合运用11.(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积可以为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C.2eq\r(2) D.eq\r(2)答案AB解析因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3，所以底面边长为eq\r(3)，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝eq\r(2).连接AC，BD交于点O(图略).①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)＋eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以正四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)－eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以正四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).12.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为________.答案eq\f(8\r(3),9)解析设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则2r＝2，解得r＝1.设所求的小正方体的棱长为a，当小正方体的体积最大时有3a2＝(2r)2，所以a＝eq\f(2r,\r(3))＝eq\f(2,\r(3))，所以小正方体体积的最大值为a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq\s\up12(3)＝eq\f(8\r(3),9).13.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积.解(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝972π，∴R＝9，SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12eq\r(2).∵AB⊥SD，D为AB中点，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，