高一数学周测卷2　(范围：§6.3)

周测卷2(范围：§6.3)(时间：50分钟满分：100分)一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1.已知向量a＝(1，0)，b＝(2－m，2＋m).若a·b＝0，则2a－b＝()A.(2，－4) B.(－2，4)C.(2，4) D.(－2，－4)答案A解析∵a＝(1，0)，b＝(2－m，2＋m)，a·b＝0，∴2－m＝0，解得m＝2，则2a－b＝2(1，0)－(0，4)＝(2，－4).2.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A.(3，－2) B.(3，2)C.(－3，－2) D.(－3，2)答案C解析设c＝(x，y)，由c⊥a，b·c＝1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝0，,x－2y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))所以c＝(－3，－2).3.向量a＝(2，1)在向量b＝(3，4)方向上的投影向量的坐标为()A.(eq\f(8,5)，eq\f(6,5)) B.(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))C.(eq\f(6,5)，eq\f(8,5)) D.(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))答案C解析根据投影的定义可得：a在b方向上的投影向量的坐标为|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(2×3＋1×4,\r(9＋16))·eq\f(（3，4）,\r(9＋16))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).4.在△ABC中，N是AC边上一点，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.1答案B解析如图，因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AN,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→)).又因为B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，故m＝eq\f(1,3).5.如果平面向量a＝(2，1)，b＝(1，3)，那么下列结论中正确的是()A.|b|＝3|a|B.a∥bC.a与b的夹角为30°D.a在b上的投影向量的模为eq\f(\r(10),2)答案D解析|a|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(1＋9)＝eq\r(10)，则|b|≠3|a|，A错误；由于2×3≠1×1，则a，b不平行，B错误；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×1＋1×3,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2)，0°≤〈a，b〉≤180°，则〈a，b〉＝45°，C错误；a在b上的投影向量的模为eq\f(|a·b|,|b|)＝eq\f(|2×1＋1×3|,\r(10))＝eq\f(\r(10),2)，D正确.6.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，P是以AB为直径的圆弧上任一点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为()A.4B.5 C.2eq\r(5)D.2＋eq\r(5)答案D解析如图，取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示坐标系，则E(1，1)，A(－1，0).设P(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(cosθ＋1，sinθ)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2cosθ＋2＋sinθ＝eq\r(5)sin(θ＋φ)＋2(其中tanφ＝2)，∴当sin(θ＋φ)取最大值1时，(eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→)))max＝2＋eq\r(5).二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)7.在△ABC中，D为BC的中点，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，则()A.eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))C.eq\o(CE,\s\up6(→))∥(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))D.eq\o(CE,\s\up6(→))⊥(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))答案BC解析因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，所以A，E，D三点共线，且|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2|eq\o(ED,\s\up6(→))|.又因为AD为BC边上的中线，所以点E为△ABC的重心，连接CE并延长交AB于F，则F为AB的中点，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（\o(CA,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))）))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))∥(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))).8.如图，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，E为CD的中点，AE与DB相交于F，则下列说法一定正确的是()A.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(BF,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为0C.eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1D.cos∠FAB＝eq\f(1,2)答案ABC解析在四边形ABCD中，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形.又|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，所以∠BAD＝60°.对于A，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，设eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→)).因为B，F，D三点共线，所以λ＋eq\f(1,2)λ＝1，解得λ＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选项A正确.对于B，设eq\o(BF,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角为θ.因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))2＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＝3，所以BD＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).在△ABD中，因为AB＝1，AD＝2，BD＝eq\r(3)，所以AD2＝AB2＋BD2，所以BD⊥AB，即θ＝90°，所以eq\o(BF,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为|eq\o(BF,\s\up6(→))|cosθ·eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝0×eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝0，故选项B正确.对于C，由题意，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×1×2×eq\f(1,2)＝1，故选项C正确.对于D，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,9)\o(AB,\s\up6(→))2＋\f(4,9)\o(AD,\s\up6(→))2＋\f(4,9)\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(\r(21),3)，则cos∠FAB＝eq\f(\o(AF,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AF,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\f(\r(21),3))＝eq\f(\r(21),7)，故选项D不正确.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)9.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(－1，eq\r(3))，|2a－b|＝2eq\r(3)，则a，b的夹角为________.答案eq\f(2π,3)解析由|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝12，而|a|＝1，|b|＝eq\r(（－1）2＋（\r(3)）2)＝2，所以8－8cos〈a，b〉＝12，可得cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(2π,3).10.已知向量a＝(－2，2)，b＝(5，λ)，若|a＋b|≤5，则λ的取值范围是________.答案[－6，2]解析由题意知，a＋b＝(3，2＋λ)，从而|a＋b|＝eq\r(32＋（2＋λ）2)，因为|a＋b|≤5，所以32＋(2＋λ)2≤25，即|2＋λ|≤4，解得－6≤λ≤2.11.如图，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，E为边BC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.答案eq\f(7,6)解析连接AC，如图所示，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,6).四、解答题(本题共3小题，共43分)12.(13分)已知向量a＝(3，2)，b＝(－2，4)，c＝a＋kb，k∈R.(1)若b⊥c，求k的值；(2)若d＝λa＋μb，且λ＋2μ＝1，求|d|的最小值.解(1)c＝a＋kb＝(3－2k，2＋4k)，由b⊥c得(－2)×(3－2k)＋4×(2＋4k)＝0，解得k＝－eq\f(1,10).(2)由题意可知d＝λa＋μb＝(3λ－2μ，2λ＋4μ)，所以|d|＝eq\r(（3λ－2μ）2＋（2λ＋4μ）2)＝eq\r(（4λ－1）2＋22)≥2，当且仅当λ＝eq\f(1,4)时，等号成立，所以|d|的最小值为2.13.(15分)已知A(－1，0)，B(0，2)，C(－3，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝5，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝10.(1)求点D的坐标；(2)若点D在第二象限，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AC,\s\up6(→))；(3)设eq\o(AE,\s\up6(→))＝(m，2)，若3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))垂直，求eq\o(AE,\s\up6(→))的坐标.解(1)设点D(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y).由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＝x＋1＋2y＝5，,\o(AD,\s\up6(→))2＝（x＋1）2＋y2＝10，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,（x＋1）2＋y2＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))所以点D的坐标为(－2，3)或(2，1).(2)因为点D在第二象限，所以D(－2，3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，3)，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，则(－2，1)＝m(1，2)＋n(－1，3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝m－n，,1＝2m＋3n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝1.))所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).(3)因为3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(1，2)＋(－2，1)＝(1，7)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(m，2)，又3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))垂直，所以(3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，所以m＋14＝0，解得m＝－14，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－14，2).14.(15分)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设eq\o(EF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，求λ＋μ的值.(2)若AB＝eq\r(3)，BC＝2，当eq\o(AE,\s\u