高中数学第八章　8.6.2　第1课时　直线与平面垂直的判定定理

8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理学习目标1.了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理并会用定理判定线面垂直.(重点)3.会求直线与平面所成的角.(难点)导语在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系(如图)，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.今天我们就来研究有关直线与平面垂直的问题.一、直线与平面垂直的定义问题1如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，则旗杆AB与影子BC的位置关系如何？提示始终保持垂直.问题2在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？提示可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.问题3我们能说直线与平面α内的无数条直线垂直，则直线与平面α垂直吗？提示不能.知识梳理1.直线与平面垂直的定义及画法定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.例1(多选)下列命题中，不正确的是()A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α答案ABD解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，若l在α内，则l可能与α内的无数条直线垂直，所以B，D不正确，C正确.反思感悟直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.①是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；②是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法.跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任一直线B.若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD.若a⊥b，b⊥α，则a∥α答案AC解析由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，D错误.二、直线与平面垂直的判定定理及应用问题4如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？提示如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.知识梳理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言简记线线垂直，则线面垂直例2(课本例3)求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图所示，a∥b，a⊥α，求证b⊥α.证明如图所示，在平面α内取两条相交直线m，n.∵直线a⊥α，∴a⊥m，a⊥n.∵b∥a，∴b⊥m，b⊥n.又m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线，∴b⊥α.例2(1)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2.求证：PA⊥平面ABCD.证明因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，PD=2，所以PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD=D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.(2)已知在三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心答案D解析如图，连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延长，交AC于点E.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，故PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，故PA⊥BC.因为PO⊥平面ABC，又BC⊂平面PBC，故PO⊥BC，因为PA∩PO=P，PA⊂平面PAO，PO⊂平面PAO，故BC⊥平面PAO，又AO⊂平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC；同理BE⊥AC，故点O是△ABC的垂心.反思感悟判定线面垂直的方法(1)应用线面垂直的定义(不常用).(2)应用判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.(3)常用的结论(解答题中不要直接使用)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2(1)(多选)下列平面中的两条直线与直线a垂直，可以保证直线a与平面垂直的是()A.四边形的两边 B.正六边形的两边C.圆的两条直径 D.三角形的两边答案CD解析对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，如果直线a垂直于平行四边形的一组对边，则此时不能保证线面垂直；对于B，若直线a垂直于正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线a与平面垂直的是CD选项.(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.证明如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，易证AE=CE.因为AO=OC，所以OE⊥AC.在正方体中易求出：D1O=D=a2+22OE=BE2+OB2D1E=D1B12+B因为D1O2+OE2=D1E2，所以D1O⊥OE.因为D1O∩AC=O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以OE⊥平面ACD1.三、直线与平面所成的角问题5当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，我们可以感受到铅笔和桌面所成的角逐渐增大，如何具体地刻画铅笔和桌面所成的角呢？提示铅笔和它在桌面上的射影所成的角.知识梳理直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，如图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO；规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°例3(课本例4)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.解连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a.∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.在Rt△A1BO中，A1B=2a，BO=22a∴BO=12A1B∴∠BA1O=30°.∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.例3(1)在例2(1)的条件下，分别找到直线PB，PC与平面ABCD所成的角，并求其正弦值.解在例2(1)中，PA⊥平面ABCD，则点P在平面ABCD内的射影为点A，所以直线PB，PC在平面ABCD内的射影分别为AB，AC，故∠PBA和∠PCA即为直线PB，PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PBA中，PA=1，AB=1，PB=2，所以sin∠PBA=12=2在Rt△PCA中，PA=1，AC=2，PC=3，所以sin∠PCA=13=3即直线PB，PC与平面ABCD所成角的正弦值分别为22，3(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值.解如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=22于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=EMBE=23，即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为延伸探究在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？解∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴BE与平面ABCD所成的角与所求的角相等.连接BD(图略)，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角.设正方体的棱长为2，则DE=1，则在Rt△BDE中，sin∠EBD=DEBE=13，即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为反思感悟求直线与平面所成的角的步骤(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角.(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角.(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形).(4)答.1.知识清单：(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理及应用.(3)直线与平面所成的角.2.方法归纳：转化与化归、数形结合.3.常见误区：判定定理中忽略“平面内找两条相交直线”这一条件.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1C B.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB答案B解析由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D=A1，A1B1⊂平面A1DB1，A1D⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A.平行 B.相交C.异面 D.垂直答案A解析若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾.∴直线l与m不可能平行.3.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为()A.60° B.45°C.30° D.90°答案A解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角.因为AB=2BO，所以cos∠ABO=BOAB=12，所以∠4.如图所示，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于()A.32 B.C.105 D.答案C解析由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，连接OB(图略)，∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，B1D1，BB1⊂平面DBB1D1，∴C1O⊥平面DBB1D1.∴∠OBC1为直线BC1和平面DBB1D1所成的角，∵在Rt△BOC1中，OC1=22，BC1=25，∴sin∠OBC1=OC1B∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为105课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分1.直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直C.l在平面α内 D.不能确定答案D解析直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直，或直线l在平面α内，或直线l与平面α相交，都有可能.2.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定答案B解析易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC为直角三角形.3.已知直线l与平面α相交，点A，B在直线l上，AB=4，且线段AB在α内的射影长为22，则l与α所成角的大小为()A.π6 B.C.π3 D.答案B解析设l与α所成的角为θ，θ∈0，因为点A，B在直线l上，AB=4，且线段AB在α内的射影长为22，依题意作图，如图所示，则cosθ=224=所以l与α所成角的大小为π44.已知α，β，γ是三个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，且α∩β=l，m，n⊂γ.在下列条件中，能推出l⊥γ的是()A.n⊥l，m⊥l B.m⊥l，n⊥αC.n⊥α，m⊥α D.m⊥α，n⊥β答案D解析当m∥n时(如图所示)，由n⊥l，m⊥l推不出l⊥γ，故A错误；同理可知，B，C错误；由m⊥α，n⊥β，α∩β=l，可知m与n相交，且n⊥l，m⊥l，所以l⊥γ，故D正确.5.已知θ是锐角，直线l与平面α相交，则“直线l与平面α内无数条直线所成角的大小为θ”是“直线l与平面α所成角的大小为θ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析直线l与平面α内无数条直线所成角的大小为θ，若这无数条直线平行，且与直线l在平面α上的射影不平行，则直线l与平面α所成角的大小不为θ，充分性不成立；若直线l与平面α所成角的大小为θ，则直线l与它在平面α上的射影所成的角为θ，又在平面α内有无数条直线与射影平行，则直线l与平面α内无数条直线所成角的大小为θ，必要性成立.6.在四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的()A.外心 B.内心C.垂心 D.重心答案A解析如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又PA=PB=PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，则OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心.7.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB=1，∠DAB=π3，动点P在体对角线BD1上(不包括点B)，直线AP与平面PBD所成角的最小值为π4，则直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为(A.32 B.C.5 D.6答案D解析连接AC，交BD于点O，连接PO.因为底面ABCD为菱形，AB=1，∠DAB=π3，则OB=OD=12，OA=OC=32，AC又因为DD1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则AC⊥DD1，又BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1，则AC⊥平面BDD1，可知直线AP与平面PBD所成的角为∠APO，则tan∠APO=OAPO=32PO≥tan可得0<PO≤32因为OB=OD=12<3可知当点P与点D1重合时，PO取到最大值32则DD1=322-所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为2×12×1×1×32×228.(5分)如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A'DE，使得点A'在平面EBCD内的射影在CD上，且直线A'D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为.

答案4解析如图所示，过A'作A'H⊥CD于点H，连接EH，由题意，得A'H⊥平面EBCD.所以HD为A'D在平面EBCD上的射影，∠A'DH为直线A'D与平面EBCD所成的角，所以∠A'DH=30°.又A'D=AD=2，所以A'H=1，DH=3，设AE=A'E=x，则EH=x2在四边形DAEH中，可得AD2+(AE-DH)2=EH2，所以22+(x-3)2=x2-1，所以x=439.(5分)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，体积是2863，则侧棱与底面所成的角为.答案60°解析如图，作正四棱台ABCD-A1B1C1D1，由题意得AB=4，A1B1=2，设O1，O分别为底面A1B1C1D1，ABCD的中心，则A1O1∥AO，A1O1=2，AO=22，OO1⊥平面ABCD，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为OO1，因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为286所以13×(4+16+16×4)×OO1所以OO1=6，作A1E∥OO1交AO于点E，则A1E⊥平面ABCD，所以∠A1AE为侧棱A1A与底面ABCD所成的角，且A1E=OO1=6，OE=A1O1=2，AE=AO-OE=22-2=2，所以在Rt△A1AE中，tan∠A1AE=A1EAE又0°<∠A1AE<90°，所以∠A1AE=60°，即侧棱与底面所成的角为60°.10.(11分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点.若AB=BC=BB1，∠ABC=π2，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值解如图，过点C作CH⊥C1D于点H，∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又CC1∩AC=C，CC1，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，∵CH⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD=D，C1D，BD⊂平面BC1D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角.设AB=2a，则CD=2a，C1D=6a，∴sin∠CC1D=CDC1D=211.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.12.(多选)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案ABC解析对于A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于B，因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于C，易知SA=SC，AC⊥平面SBD且AC被BD平分，所以SA与SC关于平面SBD对称，所以SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；对于D，易知AB与SC所成的角为∠SCD，0°<∠SCD<90°，DC与SA所成的角为∠SAB，∠SAB=90°，显然∠SCD≠∠SAB，故D不正确.13.(5分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F=.

答案1解析设B1F=x，∵AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，∴AB1⊥DF.由已知可得A1B1=2，∵∠A1AB1=90°-∠AB1A1=∠FDB1，∴tan∠A1AB1=tan∠FDB1，∴A1B1∴22=x22，得x=12，即线段B114.(13分)如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB=4，点D为线段AB上一点，且AD=13DB，点C为圆O上一点，且BC=3AC.点P在圆O所在平面内的射影为点D，PD=DB(1)求证：CD⊥平面PAB；(6分)(2)求直