高中数学第八章　8.6.3　第1课时　平面与平面垂直的判定定理

8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理学习目标1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单二面角的平面角.(重点、难点)2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和判定定理判定面面垂直.(重点)3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.(难点)导语回顾两条直线垂直的定义，要先定义角的概念，利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直，因此，定义两平面垂直，我们先从二面角开始.一、二面角的概念问题1请举出两个平面相交的例子.提示课桌的上表面与墙面、教室的墙面与地面等.问题2我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？提示指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角.问题3∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？提示无关.知识梳理1.二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面画法记法二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q二面角的平面角在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图二面角的平面角α的取值范围0°≤α≤180°2.平面角是直角的二面角叫做直二面角.例1已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求：(1)二面角B-PA-D的平面角的大小；(2)二面角B-PA-C的平面角的大小；(3)二面角A-PD-C的平面角的大小.解(1)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，∴二面角B-PA-D的平面角为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角为45°.(3)如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO，∵PA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又PA=AB=AD，∴AO⊥PD.∵PA⊥CD，又AD⊥CD，AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，又∵OM∥CD，∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD，∴OM⊥OA，又∵PD是二面角A-PD-C的棱，∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°.反思感悟(1)确定二面角的平面角的方法①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点且与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.(2)求二面角大小的步骤①找到(作出)二面角的平面角.②证明这个角是二面角的平面角.③在平面角所在的平面图形(多数是三角形)中，通过解三角形，求出平面角，进而得到二面角的大小.跟踪训练1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.解由已知得PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形.∴∠PCA=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°.二、平面与平面垂直的定义及应用问题4教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？提示可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°.知识梳理平面与平面垂直的定义与画法(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.(2)画法：例2如图所示，在四面体A-BCD中，BD=2a，AB=AD=CB=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵AB=AD=CB=CD=a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形.取BD的中点E，连接AE，CE，如图，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在Rt△ABD中，AB=a，BE=12BD=22a，∴AE=AB2同理CE=22a在△AEC中，AE=CE=22a，AC=a∴AC2=AE2+CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.反思感悟用定义证明两个平面垂直的步骤(1)找出两个相交平面的二面角的平面角.(2)证明这个二面角的平面角是直角.(3)根据定义，这两个平面互相垂直.跟踪训练2如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.证明如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.由BE⊥平面ABCD，AB=BC，可得AE=EC.又AE⊥EC，所以EG=3，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角，在Rt△EBG中，可得BE=EG2-故DF=22在Rt△FDG中，可得FG=DG2+在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=22可得EF=322.从而EG2+FG2=EF所以EG⊥FG.即二面角E-AC-F的平面角为90°，所以平面AEC⊥平面AFC.三、平面与平面垂直的判定定理及应用问题5我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？提示用铅锤检测.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面.问题6请说出这种方法的数学原理.提示如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.知识梳理面面垂直的判定定理文字叙述如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形表示符号表示a⊂α，a⊥β⇒α⊥β简记线面垂直，则面面垂直例3(课本例7)如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'.证明∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD，∴AA'⊥BD.又BD⊥AC，AA'∩AC=A，∴BD⊥平面ACC'A'，又BD⊂平面A'BD，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.例3如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，G，F分别为PB，PC的中点，点E在MB上.求证：平面EFG⊥平面PDC.证明∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC=D，PD，DC⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.反思感悟证明面面垂直的方法(1)定义法：证明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”.跟踪训练3如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC⊥平面PDB.证明∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，又PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PDB，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.1.知识清单：(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的定义及应用.(3)平面与平面垂直的判定定理及应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：二面角的平面角找不到或者找错.1.下列命题中，错误的是()A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.平行于同一条直线的两个平面一定平行C.如果一个平面不垂直于另一个平面，那么这个平面内一定不存在直线垂直于另一个平面D.若直线l不平行于平面，且l不在平面内，则在平面内不存在与l平行的直线答案B解析对于A，由直线与平面相交的性质知，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，由平面与平面垂直的判定定理知，如果一个平面内存在直线垂直于另一个平面，那么这个平面一定垂直于另一个平面，故C正确；对于D，若直线l不平行于平面，且l不在平面内，则l与平面相交，则在平面内不存在与l平行的直线，故D正确.2.已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是()A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β答案D解析由a∥α知，α内必有直线l与a平行，又因为a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.3.(多选)下列命题为真命题的是()A.两个相交平面组成的图形叫做二面角B.异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系答案BD解析对于A，显然混淆了平面与半平面的概念，A错误；对于B，因为a，b分别垂直于二面角的两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补，B正确；对于C，因为所作射线不一定垂直于棱，所以C错误；由二面角的定义知D正确.4.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°答案B解析如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A'，则AB⊥AD，AB⊥AD'，则∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角，又因为四边形ADD'A'为正方形，所以∠D'AD=45°，即二面角D'-AB-D的大小是45°.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.下列命题中正确的是()A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案C解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，A不正确；一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，进而得出面面垂直，由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.2.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件中可以推出α⊥β的是()A.m⊥n，m⊂α，n⊥βB.m⊥n，m⊂α，α∩β=nC.m∥n，m⊥α，n⊥βD.m∥n，m∥α，n⊥β答案D解析对于A，如图1所示，当m为平面α和平面β的交线时，推不出α⊥β，故A错误；对于B，如图2所示，m⊥n，m⊂α，α∩β=n，但推不出α⊥β，故B错误；对于C，因为m∥n，m⊥α，所以可得n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故C错误；对于D，因为m∥n，n⊥β，所以可得m⊥β，又因为m∥α，所以α⊥β，故D正确.3.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，点E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A.60° B.120°C.60°或120° D.不确定答案C解析如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α-l-β的棱交于点O，连接OE，OF.因为PE⊥α，PF⊥β，l⊂α，l⊂β，所以PE⊥l，PF⊥l，又PE∩PF=P，PE，PF⊂平面γ，所以l⊥平面γ，又OE，OF⊂平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，则∠EOF为二面角α-l-β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°.4.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案C解析因为AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，所以DE⊥AC，BE⊥AC，因为DE∩BE=E，DE，BE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE，因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE，同理AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故C正确；由于平面ABC⊥平面BDE，而平面BDE∩平面ABD=BD，故平面ABC与平面ABD不垂直，同理可得平面ABC与平面BCD不垂直，故A，B错误；平面ABC与平面ACD不一定垂直，故D错误.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的平面角的正切值等于()A.33 B.C.2 D.3答案C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则A1O⊥BD，AO⊥BD，故∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角，设A1A=a，则AO=22a所以tan∠A1OA=A1AAO=a6.(多选)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个命题中正确的是()A.BC∥平面PDFB.平面PDF⊥平面ABCC.DF⊥平面PAED.平面PAE⊥平面ABC答案ACD解析因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE=E，AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE.因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故D正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故C正确；只有B不正确.7.(多选)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB=CD=1，BC=2，BD=3，则下列选项中正确的是()A.平面ABC⊥平面ACDB.二面角D-AB-C的平面角的余弦值为6C.AD与平面BCD所成的角为30°D.三棱锥A-BCD的体积为3答案ABC解析∵CD=1，BC=2，BD=3，则CD2+BC2=BD2，∴CD⊥BC，∵AB⊥平面BCD，BC，CD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥CD，AB⊥BD，∵CD⊥BC，AB⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，故A正确；∵AB⊥BC，AB⊥BD，平面ABC∩平面ABD=AB，∴∠CBD为二面角D-AB-C的平面角，在Rt△BCD中，cos∠CBD=BCBD=63，即二面角D-AB-C的平面角的余弦值为63∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为AD与平面BCD所成的角，在Rt△ABD中，tan∠ADB=ABBD=3则∠ADB=30°，故C正确；三棱锥A-BCD的体积为13×12×2×1×1=26，故8.(5分)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=1，将△ABC沿斜边BC上的高AD翻折，使平面ABD⊥平面ACD，则翻折后BC=.

答案1解析因为AB=AC=1，∠BAC=90°，所以BC=2，因为翻折前在△ABC中，AD⊥BC，所以翻折后有AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=CD=22所以BC=229.(5分)如图，直二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=2，AC=4，BD=6，则CD的长为.

答案214解析过点A作AE∥BD且AE=BD，则四边形EDBA为平行四边形，连接ED，CE，AD，如图，因为AB⊥BD，所以平行四边形EDBA为矩形，则AE⊥AB.又AC⊥AB，α∩β=AB，所以∠CAE是二面角α-AB-β的平面角，因为α-AB-β是直二面角，所以∠CAE=90°，所以AE⊥AC，又AC⊥AB，AB∩AE=A，AB，AE⊂β，所以AC⊥β，又AD⊂β，所以AC⊥AD.又AD=AB2+所以CD=AC2+10.(10分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°.证明：平面PAB⊥平面PAC.证明连接OA，OB，则OA=OB，∵D为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA，OB⊂平面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，又PO=PO，∴△POA≌△POB，∴PA=PB，∵△ABC是底面圆的内接正三角形，∴AC=BC，又PC=PC，则△PAC≌△PBC，∴∠APC=∠BPC=90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，∵PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.11.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和π6.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'等于(A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3答案A解析连接AB'，A'B(图略).由已知条件可知∠BAB'=π4，∠ABA'=π设AB=2a，则BB'=2asinπ4=2aA'B=2acosπ6=3a∴在Rt△BB'A'中，得A'B'=a，∴AB∶A'B'=2∶1.12.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是二面角P-AB-C的平面角答案ABC解析∵点E，F，G分别是所在棱的中点，∴GF∥PC，GE∥CB，∵GF，GE⊄平面PBC，PC，CB⊂平面PBC，∴GF∥平面PBC，GE∥平面PBC，∵GF∩GE=G，GF，GE⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC，A正确；∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，∴GF⊥平面ABC，∵GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC，B正确；易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；∵GE与AB不一定垂直，∴∠FEG不一定是二面角P-AB-C的平面角，D错误.13.(5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=BC，PA=AB，AM⊥平面PBC，垂足M在直线PB上，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则PNNC=.答案1解析如图所示，取PC的中点E，PE的中点N，连接BE，MN，AN，∵AM⊥平面PBC，PB，PC⊂平面PBC，∴AM⊥PB，AM⊥PC，∵PA=AB，∴M为PB的中点，∵PB=BC，E为PC的中点，∴BE⊥PC，∵M，N分别为PB，PE的中点，∴MN∥BE，∴MN⊥PC，∵PC⊥AM，AM∩MN=M，AM，MN⊂平面AMN，∴PC⊥平面AMN，∵PC⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面AMN，∵E为PC的中点，N为PE的中点，∴PN=12PE=14PC，因此PNNC14.(12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点.(1)求证：A1E∥平面C1BD；(6分)(2)若AC=BC=1，AB=2，AA1=2，求二面角B-DC1-C的平面角的正切值.(6分)(1)证明如图，连接CB1交BC1于点F，连接EF，DF，因为E，F分别是B1C1，B1C的中点，所以EF∥CC1，且EF=12C