高中数学第九章　§9.1　9.1.1　简单随机抽样

9.1.1简单随机抽样学习目标1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法.(重点)4.熟练掌握通过样本平均数直观估计总体平均数.(难点)导语在工业生产中，我们常用测试一部分产品来确定其质量；农业生产中，一般是先试种新的农作物种子来确定其是否值得推广，这种利用部分数据来估计总体的思想正是统计学的基本思想.如何进行数据的收集、整理、分析与判断，以及如何评价这一判断的合理性，是统计学研究的主要内容.在初中我们已经学习过一些统计与概率的知识，那么，对于具体的统计问题，应当如何收集数据呢？如何从收集的数据中提取有效信息呢？一、全面调查和抽样调查问题1请同学们阅读课本第173页后思考：为了准确掌握全国的人口数据，2020年11月至12月，我国对全国人口总数进行了调查，那么实施全面调查还是抽样调查呢？为什么？提示全面调查.保证获取的数据精准、全面.问题2你认为全面调查和抽样调查各有什么优点和缺点？提示全面调查的优点是精确，缺点是不易操作，需要耗费巨大的人力、物力和财力.抽样调查的优点是花费少、效率高、易操作，缺点是不够精确.知识梳理调查方式全面调查抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法相关概念总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体；个体：组成总体的每一个调查对象称为个体样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本；样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量注意点：在实际生活中要全面了解总体的情况，往往难以做到，一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究，这是因为：(1)一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的.如调查全球海洋中的所有鱼类的总数.(2)一些调查具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验是否发芽.(3)全面调查(普查)往往要浪费大量的人力、物力和财力.基于以上几点原因，所以常通过从总体中抽取一部分个体，根据对这一部分个体观察研究的结果去推断和估计总体的情况，即用样本估计总体——这是统计学的一个基本思想.例1(1)在一次数学课堂上，陈老师请四位同学举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查.小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查.小夏：为了了解刚生产的一批灯泡的使用寿命，采用全面调查.小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查.你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式错误的是()A.小凉 B.小爽C.小夏 D.小天答案C解析了解玉米种子的发芽情况，是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全班同学是否给父母洗过脚，调查的对象比较少，容易调查，因而适合全面调查；了解刚生产的一批灯泡的使用寿命，是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，人数太多，不适合全面调查，应用抽样调查.故四位同学所列举的事例的调查方式错误的是小夏.(2)(多选)为了解某市高三毕业生模拟考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是()A.总体指的是该市参加模拟考试的全体学生的数学成绩B.个体指的是该市参加模拟考试的每一名学生的数学成绩C.样本容量指的是1000名学生D.样本是指1000名学生模拟考试的数学成绩答案ABD解析对于C，样本容量是1000，C错；A，B，D均为正确表述.反思感悟一般地，如果调查的对象比较少，容易调查，适合普查，如果调查的对象较多或者具有毁损性，适合采用抽样调查.跟踪训练1(多选)下列调查方式中合适的是()A.要了解旅客上飞机前的安检，采用全面调查B.调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查C.调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查D.调查全市中学生每天的就寝时间，采用全面调查答案AC解析要了解旅客上飞机前的安检，适合采取全面调查，故A正确；要调查所在班级同学的身高，由于人数较少，容易调查，所以适合采用全面调查，故B错误；对沱江某段水域的水质情况、全市中学生每天的就寝时间的调查都适合采用抽样调查，故C正确，D错误.二、简单随机抽样问题3假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？请提出你的解决方案.提示这里袋中所有小球是调查的总体，每一个小球是个体，小球的颜色是所关心的变量.方案一：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计袋中红球所占的比例.方案二：采用不放回地摸球去估计袋中红球所占的比例.知识梳理一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本注意点：简单随机抽样的特点(1)有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.(2)逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.(3)等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等，从而保证了抽样的公平性.(4)除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.特别注意：从总体中逐个不放回随机抽取n个个体与一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的.例2(1)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是()A.某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计答案C解析A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，故C最适合用简单随机抽样.(2)从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为()A.120 B.200C.150 D.100答案A解析每个个体被抽到的可能性为30N所以30N=0.25，从而有N反思感悟简单随机抽样的特点(1)被抽取的样本的总体个数N是有限的.(2)逐个抽取n个个体作为样本.(3)课本中不加以说明则抽取是不放回的.(4)每个个体入样的可能性均为nN跟踪训练2(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的有()A.从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动B.从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验C.某班45名同学，指定成绩最好的5名同学参加学校组织的某项活动D.中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码答案AD解析B不是简单随机抽样，虽然一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次，但不是“逐个抽取”.C不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，而不是随机抽取的.A，D是简单随机抽样.三、简单随机抽样的方法问题4抽签法是实现简单随机抽样常用的方法，你能给出抽签法的步骤吗？提示抽签法具体的操作步骤：(1)编号：确定总体容量N并对个体编号；(2)制签：将编号写在外观、质地等无差别的号签上；(3)搅匀：将号签放入一个不透明容器中，并充分搅拌均匀；(4)抽取：不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本.问题5为了克服把大量的号签搅拌均匀的困难，也为了节约制作号签和搅拌均匀的成本、时间，我们可以采用随机数法实现简单随机抽样，你能总结下随机数法的特点吗？提示我们使用计算器、数学软件、统计软件等工具生成随机数，更加地方便和快捷.知识梳理简单随机抽样的常见方法1.抽签法先给总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数.2.随机数法(1)定义：先给总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数：Ⅰ.用计算器生成随机数；Ⅱ.用电子表格软件生成随机数；Ⅲ.用R统计软件生成随机数.注意点：(1)抽签法的优缺点：抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体较大时，操作起来比较麻烦.因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形.(2)随机数表中“第n列”中“列”的含义.例3某高校从报名的20名志愿者中选取5人组成服务小组，请确定抽取方法并写出操作步骤.解总体容量小，样本量也小，可用抽签法.步骤如下：(1)将20位志愿者用随机方式编号，号码是01，02，03，…，20.(2)将以上20个号码分别写在20张相同的小纸条上，制成形状、大小均相同的号签.(3)把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀.(4)从容器中不放回地逐个抽取5个号签，并记录上面的号码.(5)找出和所得号码对应的5位志愿者，组成样本.反思感悟(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本量和总体容量较小时，可用抽签法.(2)当总体容量较大、样本量不大时，用随机数法抽取样本较好.跟踪训练3(1)(多选)下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从10名家长中选3名参加座谈会D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验答案BC解析A中总体中个体数较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体中个体数较小，样本量也较小，可用抽签法；C中由于总体数目不多，而且样本量不大，故适合采用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体中个体数较大，不适宜用抽签法.(2)高三某班有34名同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数选取5组数作为参加青年志愿者活动的五名同学的座位号.选取方法是从随机数第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第四个志愿者的座位号为()495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A.23 B.09C.02 D.16答案D解析从题中随机数第一行的第6列和第7列数字35开始，由左到右依次选取两个数字，其中不超过34的依次为21，32，09，16，17，则选出来的第四个志愿者的座位号为16.四、用样本平均数估计总体平均数问题6从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本.当样本量增加时，样本平均数与总体平均数之间有何关系？我们如何估计总体平均数？提示当样本量增加时，样本平均数会更加接近总体平均数.我们常用样本平均数去估计总体平均数.知识梳理一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y=Y1+Y2+…+YNN如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1Nk∑i=1f如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=y1+y2+…+ynn=1注意点：(1)不同样本的平均数不同，即样本的平均数具有随机性.(2)大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动.(3)增加样本容量可以提高估计效果.例4某市质监局要检查某公司在某个时间段内生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验.(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机试验生成部分随机数，如下所示：162，277，943，949，545，654，821，737，932，654，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，555，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.据此写出应抽取的袋装牛奶的编号；(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋牛奶质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格.经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为502，500，499，497，503，499，501，500，498，499.计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格.解(1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500；第二步，用随机数工具产生1~500范围内的整数随机数；第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛奶进入样本；第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.(2)应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，384，263，491，175，331，068，047，447.(3)y=502+500+499+497+503+499+501+500+498+499=499.8g<500g，所以该公司的牛奶质量不合格.延伸探究1(变条件)该公司对质监局的这种检验方法并不认可，于是公司的质检部门抽取了100袋牛奶按照例4(3)中的检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5g，平均数为500.4g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？解该公司的质检部门的检验结果更可靠.因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的，尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果.延伸探究2(变问法)为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Yi=1,质量不低于500g,0,11101111001010101010111101011100010101001001010101据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500g的比例.解由样本观测数据，计算可得样本平均数为2850=0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500g的比例约为反思感悟当总体容量很大时，一般用样本平均数估计总体平均数，用样本中某类个体所占的比例估计该类个体在总体中所占的比例.样本平均数具有随机性.1.知识清单：(1)全面调查和抽样调查.(2)简单随机抽样.(3)抽签法、随机数法.(4)用样本平均数估计总体平均数.2.方法归纳：数据分析法.3.常见误区：在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.1.(多选)下列抽样中，不是简单随机抽样的是()A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本B.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个数分析奇偶性C.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽取6个号签D.箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里答案AB解析根据简单随机抽样的特点逐个判断.A项不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的；B项不是简单随机抽样，因为总体的个数是无限的；C项是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样；D项是简单随机抽样，因为它是放回简单随机抽样.2.使用简单随机抽样从1000件产品中抽取50件进行某项检查，合适的抽样方法是()A.随机数法B.抽签法C.直接从产品中随机抽样D.以上都不对答案A解析总体个数为1000，样本量为50，总体的个数较多，所抽样本的个数较少，并且是随机抽取的，故采用随机数法.3.某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中采用简单随机抽样的方法抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为15，则n=.答案100解析对于简单随机抽样，在抽样过程中，每一个个体被抽到的概率相同，因此每人入选的可能性都相等，故20n=15，4.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4人投中5次，3人投中6次，2人投中7次，1人投中8次.则估计该训练营投篮投中的比例约为.

答案0.6解析10名学员投中的平均次数为4×5+3×6+2课时对点练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验C.从平面直角坐标系中抽取10个点作为样本D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查答案B解析A选项，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；B选项，从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；C选项，因为总体的个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；D选项，一次性抽取前10箱，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故D错误.2.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下面提供了随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是()322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A.007 B.253C.328 D.860答案A解析从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数是253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复，第四个数是007，故A正确.3.某年级共有10个班级，每班各有40位学生(其中男生18人，女生22人).若从该年级中以简单随机抽样的方法抽出20人，则下列选项中正确的是()A.每班至少会有一人被抽中B.抽出来的女生人数一定比男生人数多C.已知小文是男生，小美是女生，则小文被抽中的可能性小于小美被抽中的可能性D.若学生甲和学生乙在同一个班，学生丙在另外一个班，则甲、乙两人同时被抽中的可能性跟甲、丙两人同时被抽中的可能性一样答案D解析从该年级中以简单随机抽样的方法抽出20人，所有学生被抽到的概率都一样，男生、女生被抽到的概率都一样，其中任何两个人被同时抽到的概率一样，故A，B，C错误，D正确.4.下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.将500个零件逐个做质量检验B.课上，李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑答案D解析选项A是普查；选项B老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；选项C错在总体容量是无限的.5.从一群玩游戏的小孩子中随机抽取20人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中抽取30人，发现其中有5个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩人数为()A.80 B.100C.120 D.无法计算答案C解析设参加游戏的小孩人数为x，由题意得20x=5解得x=120，所以估计参加游戏的小孩人数为120.6.为了大致了解某公司员工的身高情况，决定从50名员工(已编号为00~49)中选取10名进行测量.如果利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则符合要求的编号是()A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49答案B解析观察选项A中的编号，有不在00~49内的数字，故排除选项A；选项C，D中都有重复的编号，故排除选项C和D.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.某社会学专业的大学生为调查某村庄372户，共1511位村民的年龄情况，从该村档案室中抽查掌握了200位村民的基本信息.关于调查目的，下列说法正确的是()A.1511位村民的年龄是总体B.该村的每位村民的年龄是个体C.被抽到的200位村民是样本容量D.本次抽查获得了200个样本的观测数据答案ABD解析显然选项A，B，D均正确；样本容量为200，故选项C错误.8.下列说法正确的是()A.普查是对所有的对象进行调查B.样本不一定是从总体中抽取的，没有抽取的个体也可能是样本C.当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力D.普查不是在任何情况下都能实现的答案AC