高中数学第九章　§9.2　9.2.2　总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计学习目标1.理解百分位数的概念及统计含义.2.掌握求百分位数的基本步骤.(重点)3.结合实例，能用样本百分位数估计总体百分位数.(难点)导语前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断.接下来的问题是，如何利用这些信息为政府决策服务呢？一、百分位数的定义问题1请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？提示寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量不超过a的占80%，大于a的占20%.问题2你能制定一下具体方案吗？提示把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间[13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数13.6+13.82知识梳理1.一组数据的第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i=n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.例1下列表述不正确的是()A.50%分位数就相当于总体的中位数B.第p百分位数可以有单位C.一个总体的四分位数有4个D.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确答案C解析一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误.反思感悟分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.跟踪训练115%分位数的含义是()A.总体中任取一个数小于它的可能性是15%B.总体中任取一个数小于或等于它的可能性至少是15%C.总体中任取一个数大于它的可能性是15%D.总体中任取一个数大于或等于它的可能性是15%答案B解析根据第p百分位数的定义可知B正确.二、由样本数据求百分位数例2(课本例2)已知树人中学高一年级女生的身高的样本数据(单位：cm)如下：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0根据上述的女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.解把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0158.0158.0159.0161.0161.0162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.例2从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数.解将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%=3，12×75%=9，12×95%=11.4，则25%分位数是8.0+8.32=8.1575%分位数是8.6+8.92=8.7595%分位数是第12个数据为9.9.反思感悟总体百分位数估计需要注意的两个问题(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键.(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.跟踪训练2已知甲、乙两组数据(按从小到大的顺序排列)如下：甲组：27，28，39，40，m，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则mn等于(A.127 B.C.43 D.答案A解析因为30%×6=1.8，80%×6=4.8，所以这两组数据的第30百分位数为n=28，第80百分位数为m=48，所以mn=4828=三、统计图表中的百分位数例3(课本例3)根据下表，估计月均用水量的样本数据(单位：t)的80%和95%分位数.解由表可知，月均用水量13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%.在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%.因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2)内.由13.2+3×0.80-0.770.86-0.77=14.2可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.类似地，由22.2+3×0.95-0.940.98-0.94=22.95可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.例3为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了100名同学进行调查，结果显示这些同学的支出(单位：元)都在[10，50]内，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结果保留两位小数)解方法一由频率分布直方图可得，(0.01+0.023)×10=0.33，(0.01+0.023+0.037)×10=0.7，所以第65百分位数应位于[30，40)内，所以样本数据的第65百分位数为30+10×0.65-0.330.7-0.33≈38.65(元)所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.方法二由方法一知第65百分位数应位于[30，40)内，设为x，则0.01×10+0.023×10+(x-30)×0.037=0.65，解得x≈38.65元，所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.反思感悟由频率分布直方图求百分位数的方法方法一：模仿中位数的求解思路(1)确定第p百分位数所在的区间[a，b).(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a+p%-fa%fb%-方法二：采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.跟踪训练3为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]内，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木底部周长的第50百分位数和第75百分位数吗？解由频率分布直方图可得，(0.015+0.025)×10=0.4，(0.015+0.025+0.030)×10=0.7，(0.015+0.025+0.030+0.020)×10=0.9，所以第50百分位数一定落在区间[100，110)内，第75百分位数一定落在区间[110，120)内，所以这60株树木底部周长的第50百分位数为100+10×0.5-0.40.7-0.4=100+103≈103.3(cm这60株树木底部周长的第75百分位数为110+10×0.75-0.70.9-0.7=110+52=112.5(cm综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3cm，112.5cm.1.知识清单：(1)第p百分位数.(2)四分位数.(3)由数据、表格、直方图求百分位数.2.方法归纳：数据分析法、数形结合法.3.常见误区：求第p百分位数时未将数据从小到大排列.1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是()A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数答案AC解析根据第p百分位数的定义知A正确；因为100×75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确.2.一组数据6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，且这组数的一个四分位数是15，则它是()A.第15百分位数B.第25百分位数C.第50百分位数D.第75百分位数答案B解析将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11个，由11×25%=2.75，故第25百分位数是15.3.数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是()A.14 B.17C.19 D.23答案D解析这组数据是按照从小到大排列的，因为8×70%=5.6，所以第70百分位数是第六项数据23.4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为.

答案100解析样本数据小于10的频率为(0.08+0.02)×4=0.40，样本数据小于14的频率为0.40+0.09×4=0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10+0.10.36×4=100课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.关于百分位数，下列选项错误的是()A.一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算得n·80%=17.6，则这组数的80%分位数是x18B.一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数C.一组数据的某些百分位数可能是同一个数D.一组样本数据的75%分位数一定大于25%分位数答案D解析由百分位数的定义可知，若n·80%=17.6，则这组数的80%分位数是x18，故A正确；由百分位数的定义可知，对p%分位数，若n·p%不为整数，则p%分位数是这组数据中的数，若n·p%为整数，则p%分位数是相邻两个数据的平均值，故可能不是这组数据中的数，故B正确；当一组数据的p%分位数，q%分位数，满足n·p%，n·q%是整数部分相同的非整数时，它们对应百分位数是同一个数，故C正确；由百分位数的意义可知，若数据均相等，则其75%分位数等于25%分位数，故D错误.2.高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高(单位：cm)分别为170，168，172，172，175，176，180，则这7个数据的第60百分位数为()A.168 B.175C.172 D.176答案B解析将7人的身高从低到高排列：168，170，172，172，175，176，180，因为7×0.6=4.2，所以这7个数据的第60百分位数为第5项数据，即175.3.如图所示是某景区某年“五一”期间日接待游客人数的折线统计图，则该景区该年“五一”期间日接待游客人数的第50百分位数是()A.2.1 B.0.8C.1.1 D.1.5答案C解析将“五一”期间该景区日接待游客人数按从小到大的顺序排列为0.6，0.8，1.1，1.5，2.1.因为5×50%=2.5，故该景区“五一”期间日接待游客人数的第50百分位数是第3项数据，即1.1.4.已知按从小到大的顺序排列的一组数据：3，6，a，b，12，若其60%分位数为8，则下列情况可能的是()A.a=7，b=9 B.a=7，b=10C.a=8，b=9 D.a=8，b=10答案A解析∵5×60%=3，∴60%分位数为第3项和第4项数据的平均数，∴a+b2=8，∴a+b=16.只有5.将某班一次数学考试的成绩(都是正整数，满分150分)统计整理后得到如下的表格.成绩范围0~89分90~99分100~109分110~119分120~129分130~150分人数71010267则该班这次数学考试成绩的第75百分位数可能是()A.93 B.108C.117 D.128答案D解析由题设，该班总人数有42人，则42×75%=632>31结合表格数据知，这次数学考试成绩的第75百分位数在120~129分内.6.(多选)已知一组数据按从小到大排列为0，4，5，x，8，10，12，15，且这组数据的中位数是7，则下列结论正确的是()A.x=6B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的25%分位数是4.5D.该组数据的25%分位数是6答案ABC解析因为中位数为7，所以x+82=7，即x=6，所以该组数据的平均数为18×(0+4+5+6+8+10+12+15)=7.5，故A，B正确；因为该组数据有8个数，所以8×25%=2，所以该组数据的25%分位数是4+52=4.5，故C7.(多选)某校开展了“爱祖国、跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50分至100分之间，现随机抽取了400名学生的成绩，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的有()A.在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90)内的学生有120人B.图中x的值为0.050C.估计全校学生成绩的50%分位数为86.7D.估计全校学生成绩的70%分位数为92.5答案ACD解析由题意，成绩在区间[80，90)内的学生人数为400×0.030×10=120，故A正确；由(0.005+0.010+0.015+x+0.030)×10=1，得x=0.040，故B错误；由于前3组的频率和(0.005+0.010+0.015)×10=0.3<0.5，前4组的频率和(0.005+0.010+0.015+0.030)×10=0.6>0.5，所以50%分位数在第4组，设50%分位数为a，则0.3+0.030(a-80)=0.5，解得a≈86.7，故C正确；低于90分的频率为1-0.4=0.6，设样本数据的70%分位数为n，则n-9010=0.10.4，解得n=92.5，故8.(5分)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成绩的第百分位数.

答案30解析因为分数位于[20，40)，[40，60)的频率之和为(0.005+0.010)×20=0.3，所以60分为成绩的第30百分位数.9.(5分)一组数据共有7个数：m，2，2，2，10，5，4，且2<m<4，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三个数中间数字的两倍，则m的值为，这组数据的60%分位数是.

答案34解析将数据按照从小到大的顺序重新排列为2，2，2，m，4，5，10，则平均数为2+2+2+m+4+5+107=m+257，中位数为m，众数为2，又2<m<m+257，则2+m+257=2m，解得m10.(10分)某高校承办了某运动会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a，b的值；(5分)(2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数.(精确到0.1)(5分)解(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045+0.020+a)×10=0.7，解得a=0.005，所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即(0.005+b)×10=0.3，所以b=0.025.(2)前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为65+0.6-0.30.45×11.已知一组数据按从小到大的顺序排列：11，12，15，x，17，y，22，26，经过计算，该组数据的50%分位数是16，75%分位数是20，则x+y等于()A.48 B.38C.36 D.33答案D解析因为50%×8=4，所以50%分位数是(x+17)÷2=16.解得x=15.因为75%×8=6，所以75%分位数为y+222=20，解得y=18.所以x+12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列结论正确的是()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差答案BCD解析由题图可得，x甲=4+5+6+7+85x乙=3×5+6+95=6，因为5×80%=4，所以甲的成绩的第80百分位数是7+82=7.5，乙的成绩的第80百分位数是6+92=7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D13.(5分)某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是(写出一个满足条件的值即可).

答案7(填7，8，9，10中任意一个均可)解析7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25=1.75，故第25百分位数为第二个数，即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，而8×0.25=2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.14.(12分)某客服部门计划根据员工每个月接通的电话数给予奖金奖励，并且要保证50%的员工能拿到基本奖励，至多10%的员工能够拿到额外奖励.该部门随机抽取了30名员工，调查了他们上个月与客户的通话数量，数据如下：134414281083123913811099160710411130161014459219311100119712821549146390113541378175