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文档简介

线性方程组有解判别定理在有了向量和矩阵的理论准备之后，下面给出线性方程—（3.5.1）有解的判别定理。定理3.5.1（线性方程组有解的判别定理）：

线性方程组（3.5.1）有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵有相同的秩。证一：对线性方程组（3.5.1）的增广矩阵行初等变换与前n列的换法变换得施行的前n列所成的矩阵是A，设的矩阵为B。的前n列所成

若秩A=秩，则由定理3.4.4知，秩B=秩故因此原方程组有解。

若原方程组（3.5.1）有解，则以的方程组也有解。故为增广矩阵于是秩B=秩因此秩A=秩证二：设于是方程组（3.5.1）可表为：—（3.5.2）设方程组（3.5.1）有解，由于等价的向量组有相同的秩，是A的列向量组，由（3.5.2）知β可由线性表示，因此向量组与等价。是的列向量组，故秩A=秩充分性：若秩A=秩于是向量组与有相同的秩，设为r。不妨设是的一个极大线性无关组。显然也是的一个极大无关组，β可由线性表示。由传递性知，β可由线性表示，可见方程组（3.5.1）有解。定理3.5.2：设线性方程组（3.5.1）的系数矩阵A和增广矩阵

有相同的秩r。当r<n时，方程组有无穷多解。则当r=n（n为方程中未知量个数）时，方程组有唯一解；（为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。证：当秩A=秩=r时，由定理3.5.1知，方程组有解。这时线性方程组的增广矩阵如下阶梯形：经行变换可化为因此方程组（3.5.1）与以下方程组同解。当r=n时，方程组有唯一解：当r<n时，方程组的解为：这里是自由未知量。故方程组有无穷多解。例3.5.1：解线性方程组其中a为实常数。解：当a=1时，方程组无解。例3.5.2：当a、b取何值时，线性方程组当时，原方程的解为无解？有解？在有解时求其一般解。

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