2025-2026学年下学期湖省南长沙雅礼中学高三数学2026年5月模拟卷二试卷（含解析）

高三模拟卷（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈A.5个 B.6个 C.7个 D.8个2.已知函数f(x)={A.−3 B.34C.3 D.−3.已知向量a=(m,2)，b=(mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.logA.1 B.2 C.3 D.45.从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，则能构成三角形的概率是A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.66.已知点P(cosα,sinα)到点AA.4 B.5 C.6 D.77.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除。现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M=M0·2A.20年 B.15年 C.12年 D.10年8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为FA.2 B.3C.5 D.7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知复数z=A.z的虚部是iB.z的共轭复数是1−C.z在复平面内对应的点在第二象限D.|10.已知函数f(x)=sin(2xA.sinφB.sinφC.y=f(x)D.f(x)在区间11.某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动。规则如下：第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；第k次摸球(2≤k≤9)：若在前k−1次摸球中未出现编号为k第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出。若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）。下列说法正确的是参考公式：若A.若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖B.第2次摸到球的编号的期望为43C.在一轮活动中获奖的概率为1D.记随机变量X为最终获奖时的活动轮数，则E三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{an}满足：对任意的正整数m，n，都有aman13.已知x>y>0，若x2+14.以∆ABC为底的两个正三棱锥P−ABC和Q−ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P−ABC的侧面与底面ABC所成的角为30°，记正三棱锥P−ABC和正三棱锥四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB（1）求角A的大小；（2）若a=32，b+16.（本小题满分15分）如图所示的几何体由等高的12圆柱和14圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，（1）证明：EC⊥平面BCG（2）若直线DF与平面AFB所成角为45°，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)（1）当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c（2）设函数f(c)=p(c)+q(c18.（本小题满分17分）已知函数f(x（1）若f'(1)=0，求实数a的值；（2）若0<x<1时，f(x（3）设an19.（本小题满分17分）已知抛物线C：x2=2py，过点R(0,4)的动直线l交抛物线C于A，B两点，（1）求抛物线C的方程；（2）过动点A作抛物线的切线m，过点O作切线m的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设直线OP与直线y=−1交于点S，若动点T满足OP→=高三模拟卷（二）数  学时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈A.5个   B.6个   C.7个   D.8个|x−2|<2，即−2<x−2<2，解得可知A∩Z={1,2,3}2.已知函数f(x)={−A.−3   B.34C.3   D.−由题意知f(−4)=−(−4)则f(f(−4))=f(2)=23.已知向量a=(m,2)，b=(mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件向量a=(m,2)，b=(m,m若a∥b，则m2−2m综上，“m=2”是“a4.log1A.1   B.2   C.3   D.4log12sin5.从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，则能构成三角形的概率是（A）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，所有的可能有（1，3，5），（1，3，7），（1，3，9），（1，5，7），（1，5，9），（1，7，9），（3，5，7），（3，5，9），（3，7，9），（5，7，9），共有10种，能构成三角形的有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），共3种，故概率为3106.已知点P(cosα,A.4 B.5 C.6 D.7因为cos2α+点A的轨迹方程为3x因为圆心到直线的距离为|−40|3所以d的最小值是8−1=7.7.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知3H的质量M（kg）随时间t（年）的指数衰减规律是：M=M0·2−0.08t（其中M0为A.20年 B.15年 C.12年 D.10年设经过的时间为t年，由题意得，916所以−0.08t所以t≈8.设双曲线C:x2a2A.2 B.3C.5 D.7如图，设双曲线C的右焦点为F1，连接AF1，B由双曲线的对称性可得：|AF|=|B则四边形AFBF1是平行四边形，又因为∠AFB设|AF|=x在∆AFB中，由余弦定理可得|所以(27整理可得3x2+6ax−24则|AF|=|B在∆AFF1所以(2c整理可得c2=3a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知复数z=A.z的虚部是iB.z的共轭复数是1−C.z在复平面内对应的点在第二象限D.|已知复数z=21−i，先化简z=2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i2=1+i。10.已知函数f(x)（这里原文可能是f(x)=sin(2A.sinφB.sinφC.y=f(x)D.f(x)在区间因为函数f(x)=sin所以f(x)的图象关于直线则2π3+因为fπ2>f(所以f(x)=sin则f13π12=sin当π2<x<π时，511.某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动.规则如下：第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；第k次摸球(2⩽k⩽9)：若在前k−1次摸球中未出现编号为k第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出.若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）.下列说法正确的是（ABD）（参考公式：若a>1，则limA.若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖B.第2次摸到球的编号的期望为43C.在一轮活动中获奖的概率为1D.记随机变量X为最终获奖时的活动轮数，则E(X)=2对于A选项，第1次抽到1号球，后续2，3，…，n号球全按顺序获得，该轮必能获奖，A正确；对于B选项，若第1次抽到2号球，第2次从{1，3，4，…，10}中随机抽取；若第1次没抽到2号球，则第2次获得2号球.第2次抽到球的编号的期望为110对于C选项，一轮摸球活动中获得奖品，需要第10次获得10号球.记Pn第1次抽到1号球，后续2，3，…，n号球全按顺序，成功；第1次抽到n号球，失败；第1次抽到k(k=2，3，⋯，n−1)号球，第2至k−1次获得相应编号小球，第k次从剩余未摸过的{1，k+1，⋯，n}这n−k+1从而，Pn=1n+则Pn=P对于D选项，E=limn选择题答题卡题号1234567891011答案CCABADDBBDBCABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{an}满足：对任意的正整数m，n，都有aman由题意，令m=n=2令m=n=4令m=2，n=8，得13.已知x>y>0，若x2+因为x2+2整理可得(x由已知x>y>0，则x即x2y2=2，所以所以x+当且仅当x=2y时取等号，又x·214.以∆ABC为底的两个正三棱锥P−ABC和Q−ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P−ABC的侧面与底面ABC所成的角为30°，记正三棱锥P−ABC和正三棱锥如图，正三棱锥P−ABC和正三棱锥设P到底面ABC的距离为h1，Q到底面ABC的距离为h2，则V1V2=h1h2，取AB的中点M，连接PM，CM，由两个正三棱锥P−ABC和Q−ABC内接于同一个球，故由题意可知，R为正三角形ABC的中心，因此，PR，QR分别为正三棱锥P−ABC和正三棱锥Q−ABC的高由PA=PB，QA=QB，CA=CB，且M为AB的中点，可得则∠PMR为正三棱锥P−ABC的侧面与底面ABC所成的角，为30°所以MR=3，RC=2MR=23，记球在Rt∆ORC中，由勾股定理可得，解得r=132则h1h2四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB（1）求角A的大小；（2）若a=32，b+（1）由bcosC，acosA，ccosB成等差数列，可得bcosC+故sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，所以又A+B+C=又由A∈(0,π)，可知sinA≠0，故cosA=（另法：利用bcosC+（2）在∆ABC中，由余弦定理得b2+即b2+c2−bc=18，故(所以|=|=c故|AB16.（本小题满分15分）如图所示的几何体由等高的12圆柱和14圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，（1）证明：EC⊥平面BCG（2）若直线DF与平面AFB所成角为45°，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值。（1）因为点G为弧CD的中点，DC是直径，DE=DC，所以∠GCD=∠ECD又因为BC⊥平面DCE，EC⊂平面DCE，所以又BC，GC⊂平面BCG，BC所以EC⊥平面BCG（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2因为直线DF与平面AFB所成角为45°，所以AD=则AB→=(0,2,0)，AG→=(−1,1,2)，FB→设平面BDF的法向量为n=(由{n⋅FB→=0,n⋅FD→设平面ABG的法向量为m=(则{m⋅AB→=2b=0,m⋅则cos⟨m，故平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1517.（本小题满分15分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)（1）当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q（2）设函数f(c)=p(c)+q(c当a≤4时，h(t)≤2lnt则φ'(从而φ(t)故当0<x<1时，φ(所以实数a的最大值为4。…………10分（3）由题可知lnTn=∑i由（2）可得lnt<从而lna则T101219.（本小题满分17分）已知抛物线C:x2=2py，过点R(0,4)的动直线l交抛物线C于A，（1）求抛物线C的方程；（2）过动点A作抛物线的切线m，过点O作切线m的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程Γ；（3）在（2）的条件下，设直线OP与直线y=−1交于点S，若动点T