2025-2026学年下学期江西金太阳高三数学2026年5月高考考前最后一卷试卷（含解析）

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复数范围内，方程x2A.∅ B.{−C.{2i}2.“t不是整数”是“t不是奇数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：mm）数据，得到如下的表格：直径/mm495051525354频数89813121由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为A.50mm B.51mm C.50.5mm D.51.5mm4.下列双曲线的焦点必在y轴上的是A.y2m−xC.x2m2−5.若随机变量X∼N(μ,σA.2 B.4 C.3 D.96.若抛物线C:y2=8mx(m>0)的焦点为FA.1213 C.1283 D.7.当函数f(x)=xA.−312546656,+∞C.−1562546656,+∞8.已知函数f(x)=2cosωxcosφ−2A.−5π24C.−π24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在正四棱台ABCD−A.EFB.EFC.AB∥平面D.EF⊥平面10.在等差数列{an}中，公差为d，且a1，a3，aA.aB.mC.aD.数列1an11.对于定义在D上的函数f(x)，若存在a∈(1,+∞)，使得f(x+A.f(x)=xC.f(x)=sinx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设f(x)是奇函数，且f(2)+7f(−2)=1，则f(−2)=13.如图，现有边长为42

cm的正方形纸片ABCD，E，F分别为BC，CD的中点，AH→=3HD→，AG→=3GB14.已知实数x，y满足(|x|−1)2+(|y|−1)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x（1）求曲线y=f(x)（2）若f(x)+a16.(15分)在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，b=5(1)求c.（2）设CD平分∠ACB，且CD与AB交于点D（Ⅰ）证明：AD=（Ⅱ）若CA→=2CE17.(15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为棱AB，A1B1上一点，AB=4AD，AD=（1）求EFDE（2）求AC1与平面（3）求四棱锥F−ACC18.(17分)如图，椭圆C1:x2a12（1）求C1，C（2）设B1，B2分别为C2的上、下顶点，P为C1上异于B1，B2的任意一点，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，线段PQ与（3）设P0(x0,y0)为C1上一点，过点P0作y轴的垂线交C2于点Q0，过点Q0作x轴的垂线交C1于点P1；过点P1作y轴的垂线交C2于点Q1，过点Q1作x轴的垂线交C1于点P2；…….依此类推，得到Q19.(17分)某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖.抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券.设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则X=3(1)求P(（2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且X≥4（3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束.设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望.高三数学参考答案题序1234567891011121314答案BABDBCADACDBCBCD14472，【评分细则】【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分。【2】第9，11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分。【3】第12，13题，其余答案均不得分。【4】第14题第一空、第二空的答案也可以分别写为23.5，−1.6。第一空3分，第二空2分。1.B本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养。因为(2i)2=(−2.A本题考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理的核心素养。若t不是整数，则t不是奇数，若t不是奇数，则t可能是偶数，即t可能是整数，所以“t不是整数”是“t不是奇数”的充分不必要条件。3.B本题考查统计中的百分位数，考查数据处理能力。因为被抽检的零件中，直径小于或等于50mm的零件共有8+9=17个，直径等于51mm的零件有8个，且51×0.4=20.4，所以这51个零件的直径的第40百分位数为51mm。4.D本题考查双曲线的标准方程，考查逻辑推理的核心素养。对于双曲线y2m−x22m=1，当m>0时，该双曲线的焦点在y轴上，当m<0时，该双曲线的焦点在x轴上。双曲线x2m2−y2m2+2=1的焦点在x轴上。因为5.B本题考查正态分布，考查逻辑推理的核心素养。因为X∼N(μ,σ2)，且P(X≥3)=0.56.C本题考查抛物线与基本不等式的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。依题意得F(2m,0)。因为m且仅当3m=4m，即m=23时，等号成立，此时|7.A本题考查函数的零点与导数的应用，考查逻辑推理的核心素养。

f'(x)=6x5−5x4=x4(6x−5)，当x>56时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x≤56时，f'(8.D本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养。

f(x)=2cos(ωx+φ)。由线段AC的中点B在x轴上，得点A，C的纵坐标互为相反数，结合

图象知，点A，C位于同一个周期内且位于一个对称中心的两侧，则11π3−5π3=9.ACD本题考查正四棱台与空间中平行、垂直的判定，考查直观想象与逻辑推理的核心素养。

连接AC。因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，A正确。

因为AB∥CD，AB⊄平面CC1D1D，CD⊂平面CC1D1D，所以

AB∥平面CC1D1D，C正确。

假设EF⊥B1C1，则由BC∥B1C1，得10.BC本题考查数列的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。

因为{an}为等差数列，且a1，a3，am是公比为52的等比数列，所以a3a因为ama3=a又a1=m=8，所以d=因为1a所以数列1anan+1的前n11.BCD本题考查函数的新定义，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.若f(x)=x(x∈R)，则由f(x+a若f(x)=x(x>0)，则要证x+2<2(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，只需证x+2<4+4x+8x若f(x)=sinx(x若f(x)=log2xx>56，则f(x+3)−3f(x)=12.16因为f(x)是奇函数，所以f(2)=−f(−2)，则则f(−2)=113.42连接BD（图略）。因为E，F分别为BC，CD的中点，AH→=3HD→，设EF，GH的中点分别为T，S，连接ST（图略），则A，T，S，C四点共线，且CT⊥EF⊥HG，则PT⊥EF，PS⊥HG，则可证EF⊥平面PST.过点P作PM⊥ST，垂足为M(图略)，则EF⊥PM.又ST14.472；−设点P(x，y)的轨迹为曲线C，则曲线C：(|x|−1)2+(|y|−1)2如图所示.当12(x2+y2)−(5x+7y)=12[(x−5)2+(y−7)15.本题考查导数的几何意义与导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.解：（1）因为f'(x所以f'(0)=(0−6)e又f(0)=(0−7)e所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y（2）若f(x)+a当x∈(−∞,6)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x所以f(x所以−e6+a>0【评分细则】【1】第（1）问中，所求切线方程还可以写为“y=−6【2】第（2）问中，a的取值范围写为“a≥16.本题考查解三角形、倍角公式与平面向量基本定理，考查数学运算与直观想象的核心素养.（1）解：由余弦定理得c2则c=6 4分（2）（ⅰ）证明：因为cos∠ACB=2cos2∠ACD-1=18，∠ACD为锐角，所以cos∠ACD=34.........................................6分在∆ABC中，cos∠CAB=b2+c2-a22bc=52+62-422×5×6=34，........................................8分所以∠CAB=∠ACD，........................................................9分则AD=CD................................................................10分（ⅱ）解：取AC的中点H，连接DH，则DH⊥AC.在Rt∆ADH中，AH=52，cosA=AHAD=34，所以AD=43AH=43×52=103，.................................................12分又CA→=2CE→-CB→，即CA→+CB→=2CE→，所以E为AB的中点，.......................13分所以AE=3，DE=AD-AE=13 15分【评分细则】【1】第（1）问中，直接写"c=【2】第（2）问还可以这样解答：（ⅰ）因为S∆CAD:S∆CBD=AD:BD，.................................................5分S∆CAD=12CA·CDsin∠ACD，S∆CBD=12CB·CDsin∠BCD，S∆CAD:S∆CBD=AC:BC，................................................................................6分所以AD:BD=AC:BC，...............................................................7分所以ADBD=54，即AD=59×6=103..................................................8分在∆ABC中，cos∠CAB=b2+c2-a22bc=52+62-422×5×6=34，........................................10分在∆ADC中，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAB=25+1009-2×5×103×34=1009，所以CD=103，所以AD=CD.........................................................12分（ⅱ）因为CA→=2CE→-CB→，即CA→+CB→=2CE→，所以E为AB的中点，.......................13分所以AE=3，DE=AD-AE=13 15分17.本题考查立体几何与空间向量的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.解：（1）在直三棱柱ABC−A1则∆FEB1∼∆因为AB=A1B1，AB=4AD（2）取AB的中点O，连接CO．因为AC=BC，所以在直三棱柱ABC−A1B1所以CO⊥平面AB作OG⊥AB，交A1F于点G，以O为坐标原点，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…………………5分则A(0,−23,0)，D(0,−3F(0,2所以AC1→=(2,23)．…………………7分设平面CDF的法向量为n=(则n·CD→令x=3，得故AC1与平面CDF所成角的正弦值为|cos（3）设FA交A1B1于点N，FC交B1C因为∆FNB1∼∆FAB所以几何体B1MN−BCA=132四棱锥F−ACC1A……………13分其体积V2为直三棱柱ABC−A即V2=2S1−积为1123【评分细则】【1】第（2）问中，未写“AA【2】第（2）问中，平面CDF的法向量不唯一，只要所求法向量是与n=(非零向量即可.【3】第（3）问还可以这样解答：设FA交A1B1于点N，FC交B1C因为∆FNB1∼∆FAB，所以F四棱锥F−ACC1A1与直三棱柱易知FB∥平面ACC1A1，则点F到平面AC即等于点B到AC的距离，由等面积法可得该距离为23，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

13故几何体MNACC1A1的体积18.本题考查直线与椭圆、数列及导数的综合应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养。（1）解：由题意可知2a1=8，2b1则C1的方程为x216因为这两个椭圆的离心率相等，所以1−b12a1则b22=1，所以C2的方程为（2）证明：设P(xP,yP)(将y=yP代入y24易知P，H在y轴同侧，所以x=xP4，则则kB2H则B2H⊥PB1。又B1（3）证明：将y=yn代入y24+x将x=1−yn24代入即yn+12=15又y02−4=−3≠0，所以yn2−4=(y所以∑i=1n设f(x)=x−1−lnx，则f'(x)=x−1则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)=0，即令x=1n则∑i=1n故∑i=1n【评分细则】【1】第（1）问中，离心率相等也可等价于16−44=4−【2】第（2）问还可这样解答：根据对称性，不妨设P(xP,yP)(因为点P在C1上，所以xP2又xP>0，所以xP=24−yP又B1B2⊥PH，所以H9.本题考查随机变量的概率与期望的实际应用，考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养及应用意识。解：（1）每名抽奖者总的抽取方法数为55=3125，X=5表示5次抽的全是同一张奖券，则P(XX=4则P(X=4)=则P(X≥4)=（2）设事件A为甲、乙