高中数学 数系的扩充和复数的概念导学

§3.1数系的扩充和复数的概念课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】１．在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.２．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.３．了解复数的代数表示法及其几何意义.【目标分解】借助实例，体会数系的扩充过程。理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。了解复数的代数表示法及其几何意义。课程导学自主探究，提高能力１．形如____________叫做复数，i称为_______,满足__________.____和____分别称为复数的实部和虚部，这种形式称为复数的代数形式，常用字母________表示复数.全体复数构成的集合记为_______，称为复数集.２．两个复数与相等_____________________；一般情况下，两个复数______比较大小.３．复数，当_______时，它是实数；当______时，它是虚数；当______时，它是纯虚数.4．复平面即建立平面直角坐标系表示复数的平面，x轴叫______，y轴叫______，实轴上的点都表示______，虚轴上的点(除原点外)都表示__________.５．任何一个复数点Ｚ(,)向量=__________.６．复数的模记为___________.典例探究领悟解题思想，体会解题规范例１．已知，复数，当何值时，（１）它为纯虚数；（２）对应点在实轴上；（３）对应点在直线上.分析：据复数的定义及复数的几何意义，列出关于的方程，即可求出结果.解：（１）若为纯虚数，则，解得∴当时，复数为纯虚数.（２）若对应点在实轴上，则，解得∴当时，复数对应点在实轴上.（３）若对应点在直线上，则，解得∴当时，复数对应点在直线上.点评：熟记复数的定义及复数的几何意义，是解决这类问题的关键。［变式训练1］设，试判断复数能否为纯虚数？说明理由。例２．已知集合同时满足，，求整数。分析：据集合的有关概念，化归为复数相等的有关问题，再根据复数相等的条件列出方程组求解.解：∵，∴或或解得：或或（舍去）∴所求的整数为或点评：准确找出两个复数的实部和虚部，建立方程组是解决与复数相等有关问题的关键.［变式训练2］已知（），则____________例3．已知复数，，求的取值范围.分析：据复数的几何意义，将表示为的函数，转化为求函数值域问题.解：∵∴∴∴即的取值范围为.点评：复数的模即复数对应的点到原点的距离或复数对应向量的模.［变式训练3］已知复数，，它对应的点Ｚ在第一象限，且，若与x轴正方向的夹角为，求复数.［方法总结］复数只有时，a、b分别表示实部、虚部，在此基础上准确把握复数的有关概念及几何意义，把复数问题化归为实数问题是解决复数概念有关问题的主要方法.实战演练一丝不苟，一步到位[基础卷]选择题：１．如果复数为纯虚数，那么实数a的值为（）Ａ．－２Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．１或－２2．已知，则的充要条件是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①若且，则；②的充要条件是；③若，则当时，是纯虚数；④若，则不可能是实数.Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３４．若，则实数的值为（）Ａ．１Ｂ．－１Ｃ．1或-1Ｄ．３５．已知，复数，则的取值范围是（）Ａ．（１，５）Ｂ．（１，３）Ｃ．（１，）Ｄ．（１，）６．当时，复数在复平面上的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限填空题：７．复数与，()相等的充要条件是____________________8．已知复数，（），则____________9．复数，（）在复平面内对应点位于直线______________上.１0．复数，，（），若，则所满足的条件是_____________________________________.解答题：11．设，问：（１）若是虚数，求的范围；（２）若在复平面内对应的点在第三象限内，求的范围.12．已知，其中，若为纯虚数，求（１）对应点的轨迹；（２）的取值范围.[提高卷]一、选择题１．下面给出三个命题：①在复平面上的点都表示虚数；②复数与复平面内所有的向量一一对应；③复数与复平面内点一一对应。其中真命题个数为（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３２．设平行四边形ABCD在复平面内，Ａ为原点，Ｂ、Ｄ两点对应的复数分别为和，则点Ｃ对应的复数是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．复数、、在复平面上的对应点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，若BC的中点为D，则向量对应的复数是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．是复数(a、b∈R)为纯虚数的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件５．虚数其中，当此虚数的模为１时，的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．复数对应的点在第二象限，它的模是３，实部是，则的虚部为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题7．若是纯虚数，则的值为_______________.8．设O为原点，向量、分别对应复数和，则向量对应的复数是_______________.９．下列四个命题：①若且，则是纯虚数；②实数集与虚数集的并集等于复数集；③复平面内纯虚数对应的点一定在虚轴上；④两个复数充要条件是.其中正确命题的序号______________.10．若复数（），则的取值范围是__________三、解答题11．设复数，（），若，求的值.12．复平面上两点Ａ、Ｂ分别对应复数和，其中，Ｐ为线段AB的中点。求Ｐ点的轨迹方程.§3.2复数的代数形式的四则运算一、课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【目标分解】１．类比多项式的运算，掌握复数代数形式的四则运算法则及运算律，能进行复数代数形式的四则运算.２．在理解复数的几何意义的基础上，了解复数加、减法的几何意义.３．了解共轭复数的定义.二、课程导学自主探究，提高能力１．复数，，则______________；_________________；_________________；_________________.２．复数的加法满足运算律：（１）交换律_____________________；（2）结合律_______________.复数的乘法满足运算律：（１）______________（２）______________（３）______________.３．复数加法的几何意义是_____________________________________________________；复数减法的几何意义是________________________________________________________.4．两个复数满足__________________________时，称它们为互为共轭复数.三、典例探究领悟解题思想，体会解题规范例１．计算分析：按照复数的四则运算法则求解.解：点评：复数代数形式的四则运算，类似于多项式的运算，把含有i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要把i的幂写成最简单形式。其中复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数（即分母实数化），再化归为复数的乘法运算.［变式训练1］计算：（１）（２）例２．已知平行四边形OABC，顶点Ｏ、Ａ、Ｃ分别对应复数０、、，试求（１）向量、、表示的复数；（２）点Ｂ对应的复数.分析：求向量对应的复数，只要求出向量的坐标即可.解：（１）∵，∴表示的复数为∵∴对应的复数为∵∴对应的复数为（２）∵∴表示的复数为∴点Ｂ对应的复数为点评：复数的加减即复数相应的向量的加减，反之亦然.［变式训练2］复平面内有三点A、B、C，Ａ点对应复数为；对应复数为，对应的复数为，求AC的中点Ｍ对应的复数.［方法归纳］复数形式的四则运算类似于多项式的四则运算。牢记，把的幂化为最简形式.实战演练一丝不苟，一步到位[基础卷]一、选择题１．复数的值为（）Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１Ｄ．2．若，其中，则等于（）Ａ．０Ｂ．２Ｃ．Ｄ．５３．的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．设，则复数为实数的充要条件是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．５．若（）是纯虚数，则的共轭复数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．复数满足，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题７．已知复平面内，与对应的复数分别为与，则对应的复数为_______________8．已知复数的对应点在直线上，则实数____________9．复数，且（），则______________１0．复数满足，则________________三、解答题：11．计算下列各式的值（１）（２）12．已知，，若为实数，求实数的值.[提高卷]一、选择题１．复数满足，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２．满足条件的复数ｚ在复平面上对应点的轨迹是（）Ａ．一条直线Ｂ．两条直线Ｃ．圆Ｄ．椭圆３．复数ｚ满足，则复数ｚ等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．４．设ｚ的共轭复数为，若，，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．５．定义运算，复数ｚ满足，则复数ｚ的模为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．设，，，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题7．已知复数所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是___________.8．若复数满足，则的取值范围是________________.９．若复数、满足，则______________.10．设，且，则__________三、解答题11．复数满足，且其对应点在第二象限，求的取值范围.12．已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数.答案:§3.1数系的扩充和复数的概念［变式训练1］解：要复数为纯虚数，需，解得：∴当时，复数为纯虚数.［变式训练２］解：由复数相等概念得，解得：∴［变式训练３］解：由点Ｚ在第一象限得：①由得：②由向量与轴正方向的夹角为得：③∴由①②③解得：∴实战演练[基础卷]１．Ａ２．Ｃ３．Ｂ４．Ｃ５．Ｃ６．Ｄ７．且８．９．10．且11．解：（１）若为虚数，则有∴解得：且（２）由题得即解得：12．解：（１）由为纯虚数，设，（且）∴∴复数对应点为Ｍ，（且）其轨迹为直线，除去点（２）由（１）得：∴且∴≥３且[提高卷]１．C２．Ｄ３．Ｄ４．Ｂ５．Ａ６．Ｃ７．（）８．９．②10．≥３11．解：由得：解得：或12．解：由题知：，设则有点Ｂ的坐标为∴复数由得：∴为Ｐ点的轨迹方程.§3.2复数的代数形式的四则运算［变式训练1］（１）（２）［变式训练２］解：由题知：，∴∵∴∴C点的坐标为∴AC的中点Ｍ坐标为∴AC的中点Ｍ对应的复数为实战演练[基础