2020-2021学年江西省抚州市临川第一中学高三5月模拟考试数学(文)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页江西省抚州市临川第一中学2020-2021学年高三5月模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（）A． B． C． D．3．如图，已知等边三角形的外接圆是等边三角形的内切圆，向内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是（

）A． B．C． D．4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使个感染者新的传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．5．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．6．化简（

）A． B． C． D．27．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的图象大致为（

）A． B．C． D．9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的（单位：升），则器中米应为（）A．2升 B．3升 C．4升 D．6升10．已知，，在球的球面上，，，，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．11．函数与的图像有个交点，其坐标依次为，，，，则（

）A．4 B．8 C．12 D．1612．已知双曲线的左、右焦点分别为为右支上一点，当取得最小值时，则的离心率为（

）A． B．C． D．二、填空题13．已知向量，满足，，且，则．14．已知中角，，所对的边为，，，，，点在上，，记的面积为，的面积为，，则．15．已知函数，曲线上总存在两点，，使曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为．16．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于，两点，过点作轴垂线在轴的上方与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，，则．三、解答题17．已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，且对任意恒成立，求的取值范围．18．如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点.（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；（2）设BC=BE，圆柱的体积为，求四棱锥A-BCDE的体积.19．2021年4月20日，博鳌亚洲论坛2021年年会开幕式在海南博鳌举行，国家主席习近平以视频方式发表题为《同舟共济克时艰，命运与共创未来》的主旨演讲，某校政治老师为了解同学们对此事的关注情况，在一个班级进行了调查，发现在全班40人中，对此事关注的同学有24人，该班在上学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：（1）求对此事不关注者的政治期末考试成绩的中位数与平均数；（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从对此事不关注者中随机抽取1人，求该同学及格的概率；（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量，请补充下列的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系？政治成绩优秀政治成绩不优秀合计对此事关注者24对此事不关注者16合计40附：，其中．0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知离心率，焦点在轴上的椭圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由．21．已知函数，，当时，（1）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；（2）求证：；（3）若恒成立，求实数的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，求和的直角坐标方程；（2）当时，与交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求的值.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明：.

参考答案1．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：D.2．【答案】B【分析】首先解出复数，画出并根据求解.【详解】解：因为，所以，所以．故选：B．3．【答案】C【分析】根据题意可得，，，是4个全等的等边三角形，即可根据面积之比求出概率.【详解】解：由题可知内切圆的切点分别为，，，∴，，．又是等边三角形，∴，，，是4个全等的等边三角形，∴所求的概率．故选：C．4．【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于的不等式，由此可得出结果.【详解】由题意可得，解得，因此，该地疫苗的接种率至少为.故选：D.5．【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题直接“改量词，否结论”得到结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为：.故选：D.6．【答案】B【分析】利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.【详解】原式．故选：B．7．【答案】B【分析】先化简，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】在中，，则，又，所以，则有，又，所以，故角B为锐角.当B为锐角时，不一定是锐角三角形；当为锐角三角形时，B为锐角，故“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B8．【答案】D【详解】利用奇偶性排除AB；利用特殊值排除C，从而可得答案.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB；因为，故排除C.故选：D.9．【答案】D【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，列方程求解．【详解】程序运行变量值变化如下：，满足，，；满足，，；满足，，；不满足，输出，∴，．故选：D．10．【答案】D【分析】设的外心为，由余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圆直径，进而可得球的半径和表面积.【详解】设的外心为，，，则.设球的半径为，由题意可知平面，又直线与截面所成的角为，所以，在中，所以，所以球的表面积为.故选：D11．【答案】A【分析】由已知函数解析式可知两个函数对称中心均为，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象根据对称性即可得到答案．【详解】，两个函数对称中心均为，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图：由图可知共有四个交点，且关于对称，故．故选A.12．【答案】C【分析】根据双曲线的定义以及取最小值时的条件得到，再根据向量的共线建立等式从而可求得离心率.【详解】解：记，当，，三点共线时，有最小值，此时，所以．设焦距为，则，所以．又，所以，化简得，解得（舍负），所以双曲线的离心率（舍负）.故选：C．13．【答案】【分析】直接利用夹角公式求两向量夹角的余弦值.【详解】解：根据题意，，则，若，则，变形可得．故答案为：.14．【答案】6【分析】解法一：利用面积公式和已知面积比可以求得，从而得到，在和中同时应用正弦定理并结合得到．设，则，，在和中同时应用余弦定理并结合，消角求值；解法二：把沿翻折到，使，，三点共线，则平分．利用角平分线定理和面积公式可得，求得，并设，则，在中和中同时余弦定理，消角求值即可.【详解】解：法一：设，则，则，．因为，所以．在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，两式相比得．设，则，，在中，由余弦定理得，所以①．在中，由余弦定理得，所以②，联立①②得，所以．法二：因为，把沿翻折到，使，，三点共线，则平分．因为，所以．因为，所以，设，则，设，则．在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得，所以②，联立①②得，所以．故答案为：6．15．【答案】【分析】由题设有且，可得，利用基本不等式及条件恒成立有，即可求范围.【详解】由题设知：，且，∵曲线上两点，的切线平行，∴且，即，有，∴要曲线上总存在M，N两点，使它们所在的切线互相平行，则即可，而当且仅当时等号成立，∴.故答案为：.16．【答案】4【分析】联立直线AB和抛物线的方程，利用韦达定理求得，，根据抛物线的焦点坐标和M的定义求得M的坐标，利用直线的斜率公式求得直线AM，BM的斜率关于的表达式，求和化简即得所求.【详解】解：抛物线的焦点为为，可得直线的方程为，由，消去可得，∴，，∵点的坐标为，∴，同理，∴．故答案为：417．【答案】（1）；（2）．【分析】（１）根据已知和与项的关系，在n≥2时，将已知等式中的n换成,与原式相减，消去和得到相邻项的关系，然后仍在已知关系中取n=1得到的值，进而判定数列为等比数列，并写出通项公式；（2）利用裂项相消求和法化简后，即可得到m的范围.【详解】（1）因为，①所以，②由①式-②式得，即，又当时，，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2），，所以单调递增，且当x趋近正无穷时，，为使对于任意n∈N*恒成立，必须且只需．18．【答案】（1）证明见详解；（2）【详解】（1）根据题意可得，平面，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）设，由圆柱的体积可得，由（1）平面，由锥体的体积公式即可求解.【详解】（1）根据题意可得，.又为圆柱的母线，平面.，，平面.又平面，平面平面．（2）由题可设，由是底面圆的内接正三角形易得，底面圆的半径．．由（1）可知，平面．．19．【答案】（1）中位数为67，平均数为67.8125；（2）；（3）列联表见解析；能．【分析】（1）根据茎叶图的数据，结合中位数和平均数的计算公式，即可求解；（2）因为对此事不关注的16个人中共有12人及格，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（3）根据题意得到的列联表，利用公式，求得的值，结合附表，即可求解.【详解】（1）由茎叶图中的数据，可对此事不关注的16名同学，成绩从低到高依次为：46，52，53，56，63，63，64，66，68，72，74，76，78，78，84，92中位数为；平均数为；（2）因为对此事不关注的16个人中共有12人及格，所以所求概率.（3）由题意，可得的列联表：政治成绩优秀政治成绩不优秀合计对此事关注者101424对此事不关注者21416合计122840可得所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系．20．【答案】（1）；（2）的周长是定值4．【分析】（1）根据离心率，设椭圆的表示方程为，直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，求后，求得椭圆的标准方程；（2）利用直线与圆相切，求得，直线与椭圆联立后，利用韦达定理，求得弦长，并且利用坐标表示，，表示后求得三角形的周长为定值.【详解】（1）因为，设椭圆的标准方程为，设，，联立方程组，消去可得，，所以，，因为，所以，故，解得，故椭圆的方程为；（2）是定值，理由如下：因为直线与圆相切，所以，即，设，，联立，消去可得，，所以，所以，，故，又，所以，因为，，所以，，因为，同理可得，所以，所以，故的周长是定值4．21．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）求导数，根据题意g'(0)=0,求得a的值；（2）①当时，，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明，从而证得；②当时，，令，利用导数研究单调性，进而证明，，综上可知：；（3）利用（2）的结论放缩后得，令，利用导数研究单调性可得．得到．从而当时，在上恒成立．同样利用放缩后可得．利用导数进行研究可证得当时，在上不恒成立．【详解】解：（1），函数在处的切线与轴平行，则，得．（2）证明：①当时，，令，则．当时，，∴在上是增函数，∴，即．②当时，，令，则．当时，，∴在单调递增，∴，∴，综上可知：；（3）解：设．令，则，令，则．当时，，可得是上的减函数，∴，故在单调递减，∴．∴．∴当时，在上恒成立．下面证明当时，在上不恒成立．．令，则．当时，，故在上是减函数，∴．当时，．∴存在，使得，此时，．即在不恒成立．综上实数的取值范围是．22．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，求得曲线的直角坐标方程，当时，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C2的直角坐标方程；（2）当时，求得的直角坐标方程为，将的参数方程代入曲线的方程，利用根与系数的关系，得到，代入化简，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程为(t为参数)，消去参数，可