2020-2021学年上海市浦东新区高一下期末数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区XX中学高一下期末数学试卷（2021·上海浦东新区·期末）已知复数z1=3+4i，z2=a+i，若（2021·上海浦东新区·期末）已知向量OA=−1,2，OB=3,m，若OA⊥（2021·上海浦东新区·期末）若tanα=−2，则tanα−π（2021·上海浦东新区·期末）已知角α满足sinα+cosα=15，则tan（2021·上海浦东新区·期末）函数y=sinx+π6，（2021·上海浦东新区·期末）若3+2i是方程x2+bx+c=0b,c∈R的一个根，则（2021·上海浦东新区·期末）已知向量a=2,3，b=−4,7，则向量b在向量（2021·上海浦东新区·期末）已知向量a，b，∣a∣=1，∣b∣=2，则（2021·上海浦东新区·期末）已知函数y=cosx与y=sin2x+φ0≤φ≤π的图象有一个横坐标为（2021·上海浦东新区·期末）复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①OZ1⊥OZ2且z2（2021·上海浦东新区·期末）如图是函数y=sinπx+π6在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点，与过点A的直线相交于另外两点C，D，i为x轴正方向的单位向量，则（2021·上海浦东新区·期末）定义：对于任意实数p，q，maxp,q=p,p≥qq,p<q．设函数y=gx的表达式为gx=max3asinx,acosx（x∈R（2021·上海浦东新区·期末）已知△ABC中，AB⋅BC<0，则△ABC A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定（2021·上海浦东新区·期末）设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是 A．如果z12+ B．如果z1=z C．如果z1≤a，a是正实数，那么 D．如果z1=a，a是正实数，那么（2021·上海浦东新区·期末）已知函数fx=cossinx A．fx与gx的定义域都是 B．fx为奇函数，g C．fx的值域为cos1,1，gx D．fx与g（2021·上海浦东新区·期末）已知在△ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足P0B=14AB，且对于边AB A．B=π2 B．A=π2 C．AB=AC（2021·上海浦东新区·期末）已知复数z使得z+2i∈R，Z2−(1)求复数z的共轭复数z；(2)若复数z+mi2在复平面上对应的点在第四象限，求实数（2021·上海浦东新区·期末）已知向量a=3sin(1)若a∥b，求(2)若函数y=a+b（2021·上海浦东新区·期末）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30∘方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10(1)B，C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）(2)智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）（2021·上海浦东新区·期末）设a=x1,y(1)请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：x1(2)请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数y=3x（2021·上海浦东新区·期末）在△ABC中，∠CAB=120(1)如图1，若点P为△ABC的重心，试用AB，AC表示AP；(2)如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动（包含B，C两个端点），且AB=AC=1，设AP=λAB+μ(3)如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设AP=mAB+n

答案1.【答案】−3【解析】由z1=3+4i，z因为z1所以3+a=0，解得a=−3．【知识点】复数的加减运算2.【答案】32【解析】因为OA⊥所以−1×3+2m=0，解得m=3【知识点】平面向量数量积的坐标运算3.【答案】3【解析】因为tanα=−2则tanα−【知识点】两角和与差的正切4.【答案】−25【解析】把sinα+cosα=15则原式=【知识点】同角三角函数的基本关系5.【答案】[0,π【解析】令−π2+2k即−2π3所以当k=0时，−2又因为x∈0,所以函数y的单调增区间为0,π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6.【答案】13【解析】因为3+2i是方程x2所以3−2i是方程x2则c=3+2i故答案为：13．【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）7.【答案】13【解析】向量a=2,3，向量b在向量a的方向上的数量投影bcos【知识点】平面向量数量积的坐标运算8.【答案】[3,5]【解析】设a⋅∣2b因为−1≤cos所以9≤17−8cos所以∣2b−a【知识点】平面向量的数量积与垂直9.【答案】π6【解析】因为函数y=cosx与y=sin所以sin2因为0≤φ≤π所以2π所以2π解得φ=π故答案为：π6【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10.【答案】20【解析】设z1=a+bi所以Z1a,b，又两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数所以a−2b2=3,2a+b2=4,所以∣OZ1∣=所以△Z1O【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义11.【答案】53【解析】fx=sin所以B0,令fx=0，解得πx+π当k=1时，x=5所以A5因为函数fx关于A点对称，所以C关于A的对称点为D即CD的中点是A，所以BC+因为i为x轴正方向的单位向量，所以i=所以BC+【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12.【答案】(0,2【解析】因为2π是gx的周期，所以讨论当x∈0,2π时，所以gx的值域为A=−32a,条件等价于A⊆B，所以3a≤3,−32a≥−1,【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13.【答案】D【解析】因为AB⋅所以cosB>0，即B此时无法判断A，C的大小，所以△ABC为的形状无法判断．故选：D．【知识点】平面向量的数量积与垂直14.【答案】D【解析】对于A，如果z1=1−i，z2=1+对于B，如果z1=1−i，z2=1+对于C，z1≤a，a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于a，所以对于D，z1=a，a是正实数，那么故选：D．【知识点】复数的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义15.【答案】C【解析】A．fx与gx的定义域都是B．f−x=cosC．因为−1≤sinx≤1，所以fx的值域为cos1,1，gxD．fx+2π=【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16.【答案】D【解析】设AB=4，则P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在设HP则由数量积的几何意义可得，PB⋅PC=于是PB⋅整理得PB2只需Δ=a+12−4a=因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，所以△ABC是等腰三角形，即AC=BC．【知识点】平面向量的数量积与垂直17.【答案】(1)设z=x+yix,y∈R因为z+2i∈所以y+2=0，即y=−2．又z2−所以x−4=0，即x=4．所以x=4−2i，则z(2)因为m为实数，且z+mi由题意，12+4m−m解得−2<m<2．所以实数m的取值范围为−2,2．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义18.【答案】(1)向量a=3sina∥b，可得所以tanx=−(2)y=因为x∈0,所以2x+π所以2x+π6=π2【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19.【答案】(1)设角A，B，C的对边分别为a，b，c．由条件有∠A=120∘，b−c=0.4，则c=2−a，b=0.4+c=2.4−a，由余弦定理cosA=b2又0<a<2，解得a=1.4，即B，C两点间的距离为1.4．(2)b=2.4−1.4=1，由正弦定理bsinB=因为∠B为锐角，所以B=arcsin即智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是arcsin5【知识点】解三角形的实际应用问题20.【答案】(1)根据题意，a=x1则a⋅b=x1又由a⋅则有x1x2(2)根据题意，由（1）的结论x1x2当且仅当x=±5故函数y=3x2−1【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算21.【答案】(1)延长AO交BC于D，则D是BC中点，所以AP=(2)以A为原点，建立如图所示坐标系，则B1,0，C设Pcosθ,sin因为AP=λ所以cosθ,所以λ=cos所以λμ=因为θ∈0,所以2θ−π则λμ=2(3)因为∠CAB=120所以∠C