2020-2021学年上海市青浦区高考一模数学试卷

2020-2021学年上海市青浦区高考一模数学试卷一、填空题已知集合A=1,2,3,4，B=0,2,4,6,8，则A∩B=函数y=2x的反函数是行列式123456已知复数z满足z+4z=0，则∣z∣=圆锥底面半径为1 cm，母线长为2 cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=已知等差数列an的首项a1=1，公差d=2，其前n项和为Sn，则我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（a,b,c,d∈N∗），则b+da+c是x的更为精确的近似值，已知15750<π<227在二项式x+1ax25a>0点A是椭圆C1:x225+y216=1与双曲线C2盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小，性状，材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）记am为数列3n在区间0,mn∈N∗中的项的个数，则数列am的前已知向量e的模长为1，平面向量m，n满足：m−2e=2，n−e二、选择题已知a,b∈R，则“a=b”是“a+b2= A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行；其中正确的是   A．①② B．①④ C．②③ D．③④已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P−13,y A．22−36 B．22+36设函数fx=−x,x∈P1x,x∈M，其中P，（1）一定有AP（2）若P∪M≠R，则A（3）一定有P∩M=∅；（4）若P∪M=R，则A其中正确的个数是   A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：直线B(2)求异面直线BD1与设函数fx=x(1)若fx为偶函数，求a(2)设a>0，gx=fxx如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=π4，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为(1)分别求线段PM，PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围．(2)求S的最小值．已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离大1(1)求动点M所在的曲线C的方程；(2)已知点P1,2，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直线AB(3)已知点P1,2，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB若无穷数列an和无穷数列bn满足：存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有∣an−(1)设无穷数列an和bn均是等差数列，且an=2n，bn=n+2n∈(2)设无穷数列an是首项为1，公比为13的等比数列，bn=an+1+1，n∈N∗(3)设无穷数列an是首项为1，公差为dd∈R的等差数列，无穷数列bn是首项为2，公比为qq∈N∗

答案一、填空题1.【答案】2,4【解析】两个集合公共元素为2和4，所以A∩B=2,42.【答案】y=log【解析】y=2x⇒x=log2y，3.【答案】−3【解析】元素3的代数余子式454.【答案】2【解析】z25.【答案】π【解析】底面周长为2π，即扇形弧长为2所以2π6.【答案】4【解析】an=a所以limn→∞7.【答案】20164【解析】第一次“调日法”，157+2250+7所以17957第二次“调日法”，179+2257+7即使用两次“调日法”后可得π的近似分数为201648.【答案】2【解析】Tr+1所以T3+1=C53解得a的值是2．9.【答案】21【解析】设∣AF1∣=m，∣AF2∣=n，由椭圆定义，m+n=10，点所以由双曲线定义，∣m−n∣=4，所以4mn=m+n10.【答案】1318【解析】C41C11.【答案】284【解析】由题意，当1≤m<3时，am当3≤m<9，am当9≤m<27，am⋯；当3n≤m<3所以S10012.【答案】−1,8【解析】由题意可设e=1,0，m=m⋅所以m⋅设t=2+2cosβ所以m⋅即m⋅nmaxm⋅nmin综上所述，m⋅二、选择题13.【答案】B【解析】a+b2所以a+b≥0,ab≥0,即a≥0,所以由均值不等式a+b2≥ab等号成立的条件可知a=b，反之，若a=b<014.【答案】C【解析】如下图所示，可知②③正确．15.【答案】D【解析】由题意cosα+所以α+π所以sinα+所以sinα16.【答案】B【解析】若P=−∞,0，M=0,+∞，此时AP=0,+∞，AM=0,+∞，（3）若P∩M≠∅，必存在x0∈P且x0∈M，此时对应了两个不等的函数值−x（2）若P∪M≠R，必存在x1∉P且x1∉M，若AP∪AM=R，必存在x2∈P，使得−x2=1x1，存在x3∈M，使得所以AP∪AM综上所述，（2）（3）正确，结合下图更易理解．三、解答题17.【答案】(1)设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又因为P是DD所以PO∥又因为PO⊂平面PAC，所以直线B(2)由（1）知：PO∥所以异面直线BD1与AP所成的角，就等于PO与所以∠APO即为所求，因为PA=PC=2，AO=12所以sin∠APO=所以∠APO=30∘，即异面直线BD1与AP所成角的大小为18.【答案】(1)因为fx为偶函数，且x∈所以f−x即−x2即∣−x−a∣=∣x−a∣⇔∣−x−a∣所以4ax=0对一切x∈R所以a=0．(2)因为a>0，且x∈0,a所以gx任取0<xgx因为0<x所以x1−x又gx在区间0,a所以x1x2所以a≥a2，又所以0<a≤1．19.【答案】(1)在△PME中，∠EPM=θ，PE=AE−AP=4米，∠PEM=π4，∠PME=3所以PM=PE×同理在△PNE中，由正弦定理得：PNsin所以PN=PE×当M与E重合时，θ=0；当N与D重合时，tan∠APD=3，即∠APD=θ=π所以0≤θ≤3(2)△PMN的面积S=因为0≤θ≤3所以当2θ+π4=S取得最小值为82所以可视区域△PMN面积的最小值为8220.【答案】(1)已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离大1，等价于动点M到直线x=−1的距离和到点F1,0的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C的方程为(2)设直线PA的斜率为k，因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为−k，则lPA:y−2=kx−1y−2=kx−1,y即ky+2k−4所以可得A2−k同理：y−2=−kx−1,y即ky+2k+4所以可得B2+k所以kAB=−4−2kk−(3)设直线PA的斜率为k，所以直线PB的斜率为2−k，则lPA:y−2=kx−1y−2=kx−1即ky+2k−4所以可得A2−k同理得：y−2=2−k即2−ky−2k所以可得Bk所以kAB所以lAB:y−2k所以直线AB恒过−1,0．21.【答案】(1)因为an=2n，bn=n+2n∈N∗，若数列an与bn具有关系P1，则对任意的n∈N所以数列an与bn不具有关系(2)因为无穷数列an是首项为1，公比为1所以an因为bn所以bn所以∣a所以数列an与bn具有关系设A的最小值为A0，∣因为∣a所以A0若0<A0<1，则当n>log321−A0所以A0=1，即A的最小值为(3)因为数列an是首项为1，公差为dd∈R为等差数列，无穷数列bn是首项为所以an=a1+n−1d=dn+1−d，bn=b1qn−1=2q⋅qn，设1−d=a，2（I）当d=0，q=1时，∣an−bn∣=∣1−2∣=1≤1，取A=1，则∣a（II）当d=0，q≥2时，假设数列an与bn具有关系则存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有因为∣b所以对任意的n∈N∗，∣bn∣−∣所以n≤logq1+Ab，这与“对任意的（III）当d≠0，q=1时，假设数列an与bn具有性质PA，则存在正常数A，使得对任意的n∈因为∣a所以对任意的n∈N∗，即∣an∣≤2+A所以∣dn∣−∣a∣≤2+A，n≤∣a∣+2+A∣d∣，这与“对任意的n∈