二项式系数的性质高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质PropertiesofBinomialCoefficients1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？②二项展开式有以下特征：（1）共有n+1项。（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。

2.二项展开式的通项是什么？3.组合数有哪两个基本性质？温故而知新

学习新知杨辉三角

n二项式系数11121213133141464151510105161615201561问题2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？具有对称性14641111211331151010511615201561问题3:将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗?学习新知

学习新知这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的⟪详解九章算法⟫一书里就出现了,所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示,在这本书里记载的是用汉字表示的形式,还说明了表里 “一” 以 外的每一个数 都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于⟪释锁⟫算书,且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪) 已经用过它.

是我国古代数学的一个重要成果，这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(𝐵𝑙𝑎𝑖𝑠𝑒𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙,(1623~1662) 首先发现的 ,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.我们把这个数表称为杨辉三角，问题4：杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？二项式系数的性质问题1：对给定的正整数n，设函数 ，r∈{0，1，2，…，n}，当n＝6时，函数f(r)的图象是什么？学习新知从函数角度看，可看成是以k为自变量的函数,其定义域是：

对于确定的n，我们还可以画出它的图象，例如，当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点．

问题2：一般地，函数，r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？它具有怎样的对称性？

问题3：在二项式系数中，哪些二项式系数是相等的？

答：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

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n＋1个孤立的点，关于直线对称答：问题4：相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定与的大小？

问题5：通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.学习新知同学们，这些结论需要死记硬背吗？答：不用理抽象的符号证明，只需看具体的杨辉三角。问题6：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？当n为偶数时，第项的二项式系数 为最大；当n为奇数时，第的二项式系数和第项的二项式系数相等，且同时为最大.学习新知问：需要死记硬背吗？

f（r）rnOOnf（r）n为奇数n为偶数当n是偶数时，中间的一项取得最大值.当n是奇数时，中间的两项

和相等,且同时取得最大值学习新知问题7：在二项式定理中，a，b可以任意取值，特别地，当a＝b＝1时，可得什么结论？

典型例题性质三：二项式系数之和例1：求证在(a+b)ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

✅结论奇数项系数和=偶数项系数和=2ⁿ⁻¹(0ⁿ=0，即两者之差为0)

令x=1，得各项的系数之和为5ⁿ。学习新知巩固练习

典型例题例2：已知(1+2x)ⁿ的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。（思考提示：先根据系数相等求出n的值，再利用二项式系数的性质确定最大值）

例3、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则(1)a1+a2+a3+…+a7=_______(2)a1+a3+a5+a7=_________(3)a0+a2+a4+a6=_________赋值法例题讲评21093-1094例4求集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个子集？

典型例题解法1：解法2：

一般地，

展开式的二项式系数

有如下性质：（1）（2）（4）（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=

且最大（对称性）课堂小结在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

课堂小结1.杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个性质。杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进