全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题52第44讲直线、平面垂直的判定与性质

第44讲直线、平面垂直的判定与性质【备选理由】例1考查线面平行、线面垂直的证明;例2考查线面平行的证明,考查利用面面垂直的判定定理证明面面垂直;例3考查面面垂直的证明以及求三棱台的体积;例4以翻折为背景,考查线面垂直的证明以及与面面垂直有关的存在性问题.例1[配例2、例4使用][2025·湖南名校联考联合体测试]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知D为AC的中点,AB1∩A1B=O.(1)求证:OD∥平面BCC1B1;(2)若AB=BB1=10,BC=2,AC=23,证明:A1B⊥平面AB1C1.证明:(1)如图,取AB的中点E,连接DE,OE,因为D为AC的中点,所以DE∥BC,因为DE⊄平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,所以DE∥平面BCC1B1.因为AB1∩A1B=O,所以O为AB1的中点,所以OE∥BB1,因为OE⊄平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.因为DE∩OE=E,DE⊂平面ODE,OE⊂平面ODE,所以平面ODE∥平面BCC1B1,又因为OD⊂平面ODE,所以OD∥平面BCC1B1.(2)因为AB=BB1=10,BC=2,AC=23,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC,所以A1B1⊥B1C1.因为BB1⊥平面A1B1C1,B1C1⊂平面A1B1C1,所以B1C1⊥BB1,因为A1B1∩BB1=B1,A1B1,BB1⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,因为A1B⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B.因为AB=BB1=10,所以矩形ABB1A1为正方形,所以AB1⊥A1B,又B1C1∩AB1=B1,B1C1⊂平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以A1B⊥平面AB1C1.例2[配例3、例4使用][2026·福建泉州丰泽区期末]如图,在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,AD=2,QD=QA.(1)若E,F分别是QD,BC的中点,证明:EF∥平面BAQ;(2)若QA=5,QC=7,证明:平面QAD⊥平面ABCD.证明:(1)如图①,取AQ的中点N,连接NE,BN,∵E是QD的中点,N是AQ的中点,∴NE=12AD,且NE∥∵底面ABCD是菱形,且F为BC的中点,∴BF=12AD,AD∥BF则NE=BF,NE∥BF,故四边形BFEN为平行四边形,∴BN∥EF,又∵BN⊂平面BAQ,EF⊄平面BAQ,∴EF∥平面BAQ.(2)如图②,取AD的中点O,连接OC,OQ,AC,∵QA=QD,∴QO⊥AD,又∵QA=5,AD=2,∴QO=QA2∵∠ABC=60°,AD=2,四边形ABCD是菱形,∴△ACD是等边三角形,∴OC=32AD=3,由OQ2+OC2=7=QC2,可得OQ⊥又AD∩OC=O,AD,OC⊂平面ABCD,∴OQ⊥平面ABCD,又OQ⊂平面QAD,∴平面QAD⊥平面ABCD.例3[配例3使用][2026·福建漳州质检]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=BB1=2A1B1=2,AB⊥BC.(1)求三棱台ABC-A1B1C1的体积;(2)证明:平面ABB1A1⊥平面BCC1B1.解:(1)在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,则AA1⊥AB,在直角梯形ABB1A1中,由AB=BB1=2A1B1=2,得AA1=3.由AB⊥BC,AB=BC=2,得S△ABC=12AB·BC=2,故S△A1B1C1所以VABC-A1B1C1=13(S=13×2+12+2×(2)证明:由AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥平面ABB1A1,又BC⊂平面BCC1B1,所以平面ABB1A1⊥平面BCC1B1.例4[配例2、例3使用][2025·四川德阳质检]如图①,在梯形SABC中,AB∥SC,SA=AB=BC,SC=2SA,D为SC的中点,G为AD的中点.将△SAD沿AD折起,使点S到点P的位置,且四棱锥P-ABCD的体积最大,如图②.(1)求证:BG⊥平面PAD.(2)若E为BC的中点,则棱PC上是否存在一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:因为AB∥SC,SA=AB=BC,SC=2SA,D为SC的中点,所以△SAD为等边三角形,四边形ABCD为菱形,所以△PAD为等边三角形,∠DPA=∠DCB=∠DAB=π3因为G为AD的中点,所以AG=12AB,所以BG⊥AG,即AD⊥如图,连接PG,可得PG⊥AD,若四棱锥P-ABCD的体积最大,则PG⊥平面ABCD.因为BG⊂平面ABCD,所以PG⊥BG,因为AD∩PG=G,AD⊂平面PAD,PG⊂平面PAD,所以BG⊥平面PAD.(2)取PC的中点F,连接DE,DF,EF,因为E为BC的中点,所以EF∥PB,因为EF⊄平面PBG,PB⊂平面PBG,所以EF∥平面PBG.因为BE=DG,BE∥DG,所以四边形BEDG为平行四边形,所以BG∥DE.因为DE⊄平面PBG,BG⊂平面PBG,所以DE∥平面PBG,又EF∩DE=E,E