全品高考备战2027年数学一轮备用题库02第32讲平面向量基本定理及坐标表示【答案】作业手册

第32讲平面向量基本定理及坐标表示1.A[解析]设C(x,y),则AC=(x,y)-(-1,2)=(2,1),故x+1=2,y-2=1,解得x=1,y=3,所以C(1,3),又因为B(3,1),所以BC=2.C[解析]向量a=(-1,x),b=(-x,2),由a与b方向相同,得两向量共线,故-2=-x2,解得x=±2.当x=2时,a=(-1,2),b=(-2,2),此时两向量方向相同;当x=-2时,a=(-1,-2),b=(2,2),此时两向量方向相反.故x=2.故选C.3.C[解析]如图所示,由题意知E为AD的中点,则CE=12(CA+CD)=-12AC+12×23CB=-12AC+13(AB-AC4.C[解析]因为2AO=OB+OC,所以2AO-2OA=OB-OA+OC-OA,即4AO=AB+AC,即AO=14AB+14AC,又AO=λAB+μAC,AB,AC不共线,所以λ=14,5.BCD[解析]对于A,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(1,1)+μ(2,2),所以1=λ+2μ,-2=λ+2μ,无解,所以不存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以A错误;对于B,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(0,0)+μ(-2,4),所以1=-2μ,-2=4μ,则μ=-12,λ∈R,所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以B正确;对于C,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(1,1)+μ(1,2),所以1=λ+μ,-2=λ+2μ,解得λ=4,μ=-3,所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以C正确;对于D,由a=λe1+μe26.2[解析]由a=(1,2),b=(1,t)可得,2a+b=(3,t+4),a+2b=(3,2t+2).因为2a+b与a+2b共线,所以3(t+4)=3(2t+2),解得t=2.7.-9a-2b[解析]如图,延长AO,交BC于D,∵O是△ABC的重心,∴O是△ABC各边上中线的交点,又OA=3a,∴DO=12OA,即DO=32a,∴DA=DO+OA=92a,故AD=-92a.又D为BC的中点,AB=2b,∴AD=12(AB+AC),∴AC=2AD-AB,∴AC=-8.D[解析]设P(x,y),则OP=(x,y),OA=(-1,4),OB=(2,1),由题意可知,(x,y)=λ(-1,4)+μ(2,1)=λ(-1,4)+(2-λ)(2,1)=(-λ,4λ)+(4-2λ,2-λ)=(4-3λ,2+3λ),所以x=4-3λ,y=2+3λ,消去λ,得点9.C[解析]选择{AB,AC}为平面内所有向量的一个基底.因为D为BC的中点,所以AD=12AB+12AC.又AD=25AP+35AQ=25(AC+CP)+35AQ=25(AC+λCB)+3523AB+13AC=25[AC+λ10.ABD[解析]由题知,AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1),假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点就能构成三角形.故选ABD.11.AC[解析]由题知,AB=(1,2),BC=(1,-1),AC=(2,1),所以OP=mAB+nAC=(m+2n,2m+n).对于A,若OP∥BC,则2m+n+m+2n=0,即m+n=0,故A正确;对于B,BP=OP-OB=(m+2n-2,2m+n-3),若点P在直线BC上,则BP∥BC,即2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=53,故B错误;对于C,PA=(1-m-2n,1-2m-n),PB=(2-m-2n,3-2m-n),PC=(3-m-2n,2-2m-n),若PA+PB+PC=0,则(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即解得m=23,n=23,所以m-n=0,故C正确;对于D,AP=(m+2n-1,2m+n-1),若AP与BC共线,则(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,即m+n=12.311a+211b[解析]∵M,E,C三点共线,∴设AE=xAM+(1-x)AC=x3AB+(1-x)AC(0≤x≤1).∵B,E,N三点共线,∴设AE=yAB+(1-y)AN=yAB+14(1-y)AC(0≤y∴AE=311AB+211AC=31113.22+32[解析]由OA=(-2,4),OB=(-a,2),OC=(b,0),可得AB=(-a+2,-2),AC=(b+2,-4),由于A,B,C三点共线,故AB=(-a+2,-2),AC=(b+2,-4)共线,所以(-a+2)×(-4)-(-2)(b+2)=0,即2a+b=2,则1a+1b=121a+1b(2a+b)=12ba+2ab+3≥122ba·2ab+3=2+32,当且仅当b14.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)方法一:∵a=(5,-5),mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,∴-6m方法二:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,又a=mb+nc,∴m=-1,n=-1.(3)∵CM=3c=(3,24),CN=-2b=(12,6),∴MN=CN-CM=(12,6)-(3,24)=(9,-18).∵MN∥d,∴9k+18=0,解得k=-2.15.解:(1)由点E,F,O三点共线,可设EO=xEF,则AO-AE=x(AF-AE),即AO=(1-x)AE+xAF,又∵λ=13,μ=12,∴AO=13(1-x)AB+1∵P为线段BC上靠近点B的三等分点,∴AP=23AB+由点A,P,O三点共线可设AO=yAP,即13-x3AB+x2AC=23yAB+13yAC,故13-x3=23y,(2)由(1)可知AO=(1-x)AE+xAF,0<x<1,又AE=λAB,AF=μAC,∴AO=(1-x)λAB+xμAC,又O为AP的中点,AP=23AB+∴AO=12AP=13故(1-∴λ+μ=13(1-x)+16x=1322-2x+12x=13×1即x=2-1时,等号成立,故λ+μ的最小值为3+2216.ABC[解析]以B为原点,BC,BA的方向分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,设BC=2,则B(0,0),E(0,1),D(2,2).设M(t,2),则0≤t≤2,因为BM=λBE+μBD,所以(t,2)=λ(0,1)+μ(2,2)=(2μ,λ+2μ),所以2μ=t,λ+2μ=2,即λ=2-t,μ=t2.对于选项A,因为M为线段AD的中点,所以t=1,故λ+μ=2-12=32,A正确;对于选项B,λμ=(2-t)t2=t-12t2=-12(t-1)2+12,0≤t≤2,所以当t=1时,λμ取得最大值12,B正确;对于选项C,因为μ=t2,0≤t≤2,所以0≤μ≤1,即μ的取值范围为[0,1],C正确;对于选项D,λ+μ=2-t2,0≤t≤2,所以1≤λ+μ17.1,233[解析]以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过点O作OB的垂线,以该直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设扇形AOB的半径为1,则A12,32,B(1,0),C(cos