全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题47第40讲数列的综合问题_第1页
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第40讲数列的综合问题【备选理由】例1、例2侧重考查等差与等比数列基本量计算的综合;例3根据递推关系转化不等式,考查数列的函数特性,进而求参数的取值;例3考查数列与不等式求参问题;例4考查利用放缩法和裂项相消法证明不等式.例1[配例1使用](多选题)若a1,a2,a3,a4,a5构成等差数列,公差d≠0,a1≠0,且其中三项构成等比数列,设a1d=k,S=a1+a2+a3+a4+a5,则下列说法错误的是 (ABD)A.k一定大于0B.a2,a3,a5可能构成等比数列C.若a1=2,d∈Z,则|S|为5的倍数D.Sd+10=5[解析]对于A,取a1=-5d,则a2,a4,a5为等比数列,k=-5<0,故A说法错误;对于B,若a2,a3,a5构成等比数列,则(a1+d)(a1+4d)=(a1+2d)2,即a1d=0,与公差d≠0,a1≠0矛盾,故B说法错误;对于C,|S|=|5a1+10d|=|5(a1+2d)|为5的倍数,故C说法正确;对于D,∵a1d=k,∴Sd=5a1+10dd=5k例2[配例1使用]已知等比数列{an}的公比与等差数列{bn}的公差均为2,且a1=b1+2=2,设数列{cn}满足cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,n∈NA.598-2213 C.602+2203 [解析]因为a1=b1+2=2,所以a1=2,b1=0,则an=2n,bn=2(n-1),则cn=2n,n为奇数,2(n-1),n为偶数,所以数列{cn}的前20项和为a1+b2+a3+b4+…+a19+b20=(2+23例3[配例2使用][2025·临沂模拟]在数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,则数列{an}的通项公式为an=(2n-1)·3n;若不等式λan>4n2-8n+3对∀n∈N*恒成立,则λ的取值范围为

19,[解析]∵an+1=3an+2×3n+1,∴an+13n+1=an3n+2,∴数列an3n是以a13=1为首项,2为公差的等差数列,∴an3n=1+(n-1)·2=2n-1,∴an=(2n-1)·3n.∵不等式λan>4n2-8n+3对∀n∈N*恒成立,∴λ>4n2-8n+3(2n-1)·3n=(2n-1)(2n-3)(2n-1)·3n=例4[配例3使用][2025·广州二模]已知Sn为数列{an}的前n项和,且an是Sn和8的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=log2an,数列1bnbn+1的前n项和为Tn,证明:112解:(1)因为Sn为数列{an}的前n项和,且an是Sn和8的等差中项,所以2an=Sn+8,所以2a1=S1+8=a1+8,所以a1=8,当n≥2时,因为2an=Sn+8,所以2an-1=Sn-1+8,所以2(an-an-1)=an,所以an=2an-1,所以数列{an}是以8为首项,公比为2的等比数列,所以an=8×2n-1=2n(2)证明:由(1)可得bn=log2an=n+2,所以1bnbn+1=1所以数列1bnbT

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