全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题49第41讲空间几何体

第七单元立体几何第41讲空间几何体1.知识网络2.课时安排本单元共7讲、1个教材拓展、3个增分微课、1个培优专题、2个重点强化练,每讲建议1课时完成,教材拓展、培优专题建议各1课时完成,3个增分微课建议各1课时完成,2个重点强化练建议各1课时完成,本单元大约共需14课时.【备选理由】例1考查了多面体的定义、结构特征的判断及表面积计算;例2是对直观图还原的补充,利用直观图与原图形的关系作图,并考查旋转体的体积问题;例3是高考真题,旨在熟悉高考命题的考查方式,本题侧重考查空间几何体(圆锥)的表面积、体积及截面三角形面积的计算.例1[配例3使用][2025·河北邢台卓越联盟期中]某广场设置了一些石凳供大家休息,如图,每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体,则下列说法错误的是 (C)A.该几何体有6个面是正方形B.该几何体有8个面是正三角形C.该几何体共有26条棱D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小[解析]对于A,B,因为该几何体是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的,所以该几何体有8个面是正三角形,有6个面是正方形,故A,B中说法正确.对于C,因为原正方体每个面均有四条边,所以该几何体共有24条棱,故C中说法错误.对于D,不妨设正方体的棱长为2,则截去的每个正三棱锥的侧面积为3×12×1×1=32,它的底面是边长为2的正三角形,其面积为12×(2)2×32=32<32,故截去的每个正三棱锥的侧面积比它的底面积大,故该几何体的表面积比原正方体的表面积小,故例2[配例1使用][2025·辽宁名校联盟联考]如图,矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形OABC的直观图,直观图中B'C'交O'y'于点D',平面四边形OABC中,BC交Oy于点D,其中O'A'=3,O'C'=1.(1)求平面四边形OABC的面积;(2)将四边形OABC以OD所在直线为轴旋转半周,求旋转形成的几何体的体积.解:(1)在直观图中C'D'=O'C'=1,O'D'=12+1平面四边形OABC如图所示,则OD=2O'D'=22,OA=O'A'=3,所以S四边形OABC=22×3=62.(2)由(1)易知OD=22,CD=1,BD=2,OA=3,梯形DBAO以OD所在直线为轴旋转半周得到一个上底面半径r1=BD=2,下底面半径R1=OA=3,高h1=OD=22的圆台的一半,Rt△CDO以OD所在直线为轴旋转半周得到一个底面半径r2=CD=1,高h2=OD=22的圆锥的一半,所以旋转形成的几何体为12个圆锥与12所以旋转形成的几何体的体积V=12×πh13(r12+R1r1+R12)+12×13πr22h2=12×π×223×(2例3[配例3、例4使用](多选题)[2023·新课标Ⅱ卷]已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O的平面角为45°,则 (AC)A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.AC=22D.△PAC的面积为3[解析]如图,取AC的中点D,连接OD,PD,PO,则OD⊥AC,PD⊥AC,故∠PDO为二面角P-AC-O的平面角,得∠PDO=45°.因为∠APB=120°,PA=2,所以AB=23,PO=1,故圆锥的体积V=13×π×(3)2×1=π,故A正确;S圆锥侧=π×3×2=23π,故B错误;由∠PDO