全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题41第34讲平面向量的综合问题

第34讲平面向量的综合问题【备选理由】例1考查三角形四心的判断与性质,考查平面向量的数量积运算,考查学生的运算能力以及化归转化能力;例2考查向量的数量积与解三角形综合;例3考查平面向量在物理中的应用;例4考查平面向量数量积在解三角形中的应用、利用判别式法求范围等知识,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力.例1[配例1使用](多选题)已知点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的是 (BCD)A.若OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O为△ABC的外心B.若AO=λAB|AB|sinB+AC|AC|C.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6D.若OA·AB|AB|+CA|CA|=OB·BA|BA|[解析]对于A选项,由题意知OA·OB-OB·OC=0,即OB·(OA-OC)=OB·CA=0,故OB⊥CA,同理可得OC⊥AB,OA⊥BC,则点O为△ABC的垂心,A错误;对于B选项,如图①,过点A作AE⊥BC于点E,取BC的中点F,连接AF,则|AB|sinB=|AE|,|AC|sinC=|AE|,则AO=λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC=λAB|AE|+AC|AE|=λ|AE对于C选项,如图②,设F,H分别为BC,AC的中点,连接OH,OF,因为2OA+OB+3OC=0,所以2(OA+OC)+OB+OC=0,所以4OH+2OF=0,故-2OH=OF,即O,H,F三点共线,所以OH=13HF=16AB,故S△AOC∶S△ABC=1∶6,C对于D选项,令AB|AB|,CA|CA|分别表示与AB,CA同方向的单位向量AN,MA,则AB|AB|+CA|CA|=AN+MA=MN,由OA·AB|AB|+CA|CA|=OA·MN=0,得OA⊥MN,由三线合一可得,O在∠BAC的平分线上,同理可得,O例2[配例3使用]已知在△ABC中,AB=3AC=6,∠BAC=60°,点D在边BC上,∠BAD=30°,则AD的长为 (C)A.324 BC.332 D.[解析]因为∠BAC=60°,∠BAD=30°,所以AD在∠BAC的平分线上,根据角平分线定理,可得BDCD=ABAC=3,则BD=34BC,所以AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC,两边平方可得AD2=14AB+34AC2=116AB2+916AC2例3[配例2使用]一条河两岸平行,河的宽度为200m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.如图,已知船的速度v1的大小为|v1|=10km/h,水流速度v2的大小为|v2|=6km/h.设这艘船的实际速度为v,v1与v2的夹角为θ,行驶完全程需要的时间为tmin,若船的航程最短,则 (B)A.π2<θ<2π3,t=1B.2π3<θ<3π4,t=1C.π2<θ<2π3,D.2π3<θ<3π4,[解析]因为船的航程最短,所以v与v2垂直,设v1与v的夹角为α,由图可知sinα=610=35,所以12<sinα<22,故π6<α<π4,所以2π3<θ<3π4.因为sinα=35,所以cosα=45,所以|v|=|v1|cosα=10×45=8(km/h),例4[配例3使用][2025·河北保定一模]在△ABC中,∠BAC=120°,D为边BC的中点,且AD=1,则2AB+AC的最大值为 (C)A.3 B.33C.4213 D.[解析]因为D为边BC的中点,所以AD=12(AB+AC),两边平方可得AD2=14(AB2+2AB·AC+AC2),又∠BAC=120°,AD=1,所以AB·AC=|AB||AC|cos120°=-12|AB||AC|,所以1=14(|AB|2-|AB||AC|+|AC|2),即4=|AB|2-|AB||AC|+|AC|2.设AB=c,AC=b,则4=c2-bc+b2,令t=2c+b,则b=t-2c,代入4=c2-bc+b2可得4=c2-c(t-2c)+(t-2c)2=c2-ct+2c2+t2-4tc+4c2=7c2-5tc+t2,将其看作关于c的一元二次方程7c2-5tc+t2-