全品高考备战2027年数学一轮学生用书05增分微练4构造法在解决函数、导数问题中的应用【答案】作业手册

增分微练4构造法在解决函数、导数问题中的应用1.B[解析]设f(x)=lnxx(x>0),则f'(x)=1-lnxx2,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.原不等式可化为lnxx>ln22,即f(x)>f2.B[解析]由f(x)ex>e,f(1)=1,可得f(x)ex>ef(1),令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)],又f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.原不等式等价于g(x)>g(1),所以x>1,则原不等式的解集为(1,+∞).故选B.3.D[解析]因为2024m=2025,所以m=log20242025>1.构造函数f(x)=xm-x-1,x∈[1,2025],则f'(x)=mxm-1-1.令g(x)=f'(x)=mxm-1-1,x∈[1,2025],则g'(x)=m(m-1)xm-2>0,则g(x)=f'(x)在[1,2025]上单调递增,得f'(x)≥f'(1)=m-1>0,则f(x)在[1,2025]上单调递增.又f(2024)=0,f(2023)=x,f(2025)=y,所以x<0<y.故选D.4.C[解析]令f(x)=x5-5x,则f'(x)=5(x4-1),当x∈[-1,1]时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递减.因为sin5α+5cosα>cos5α+5sinα,所以sin5α-5sinα>cos5α-5cosα,即f(sinα)>f(cosα),又sinα,cosα∈[-1,1],所以sinα<cosα,即sinα-cosα=2sinα-π4<0,因为0≤α<2π,所以-π4≤α-π4<7π4,所以-π4≤α-π4<0或π<α-π4<7π4,解得0≤α<π4或5π5.A[解析]由题意得a=12e=lnee,b=ln222=ln22,c=ln44=2ln24=ln22.设f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又0<2<e<2<e,所以f(2)<f6.D[解析]设g(x)=[f(x)]2-2cosx,则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sinx>0,故y=g(x)在R上单调递增,所以gπ2>g-π2,即fπ22>f-7.D[解析]由xx-1≥lnx+ax(x>0),得xx≥xlnx+a,所以exlnx-xlnx≥a对任意x>0恒成立.令f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1在(0,+∞)上单调递增,令f'(x)=0,得x=1e,当0<x<1e时,f'(x)<0,当x>1e时,f'(x)>0,所以f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+即xlnx≥-1e.令t=xlnx,g(t)=et-tt≥-1e,则g'(t)=et-1在-1e,+∞上单调递增,令g'(t)=0,得t=0,所以当-1e≤t<0时,g'(t)<0,当t>0时,g'(t)>0,所以g(t)在-1e,0上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以8.D[解析]设函数f(t)=et-et,其定义域为R,且f'(t)=et-e,当t>1时,f'(t)>0,则f(t)在(1,+∞)上单调递增;当t<1时,f'(t)<0,则f(t)在(-∞,1)上单调递减.因为ex-e2=e(x-2)≠0,ey-ee=e(y-e)≠0,ez-e3=e(z-3)≠0,所以ex-ex=e2-2e,ey-ey=ee-e2,ez-ez=e3-3e,即f(x)=f(2),f(y)=f(e),f(z)=f(3)且x≠2,y≠e,z≠3,所以f(x)<f(y)<f(z)且x<1,y<1,z<1,所以z<y<x.故选D.9.ACD[解析]设f(x)=ex-x(x>0),则f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以f(x)>f(y),即ex-x>ey-y,即ex-ey>x-y,故A正确;令x=e,y=1,则lnx-lny=1,而x-y=e-1>1,所以lnx-lny<x-y,故B不正确;设h(x)=lnx-1+1x(x>0),则h'(x)=1x-1x2=x-1x2,当0<x<1时,h'(x)=x-1x2<0,函数h(x)单调递减,当x>1时,h'(x)=x-1x2>0,函数h(x)单调递增,则h(x)=lnx-1+1x在x=1处取得最小值,最小值为h(1)=ln1-1+11=0,所以lnx≥1-1x,故C正确;设g(x)=x·ex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=x·ex在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以g(x)>10.(-∞,-1)∪(1,+∞)[解析]当x>0时,因为xf'(x)+f(x)>0,所以[xf(x)]'>0.令F(x)=xf(x),则当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,即f(x)=-f(-x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=-x[-f(x)]=xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.因为f(1)=2,所以F(1)=f(1)=2,所以F(-1)=2,作出F(x)的大致图象如图所示.由图可知,使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).11.[e,+∞)[解析]由x2x1x1x2-eax2eax1<0,得x2x1x1x2<eax2-ax1,两边取自然对数,得x1x2lnx2x1<ax2-ax1,即lnx2-lnx1<ax1-ax2,则lnx2+ax2<lnx112.1e,+∞[解析]根据题意得axeax≥(x+1)lnx-ax,即ax(eax+1)≥(x+1)lnx=(elnx+1)lnx.令n(x)=x(ex+1),则n(ax)≥n(lnx),n'(x)=ex+1+xex,令m(x)=n'(x),则m'(x)=(x+2)ex,当x∈(-∞,-2)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(-2,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以m(x)=n'(x)=ex+1+xex≥n'(-2)=1-1e2>0,所以n(x)在R上单调递增.