2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第1讲 数列的概念与表示

第七章数列第1讲

数列的概念与表示了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．数列的定义按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的___．其中第1项也叫做首项．数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为_______．确定的顺序项{an}列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式如果数列{an}的第n项an与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的___________________________可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了______和____________，就能求出这个数列的每一项序号n2．数列的表示方法相邻两项或多项之间的关系首项递推公式有限3.数列的分类无限><a1＋a2＋…＋anS1Sn－Sn－13．数列通项公式的注意点(1)并不是所有的数列都有通项公式．(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一．(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．1．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x应取(

)A．19 B．20C．21 D．22解析：由题意，可以发现，从第3项起，每一项都是前面两项的和，∴x＝8＋13＝21.故选C.5．已知an＝n2＋λn，且对任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是___________．解析：由{an}是递增数列可知，an＋1>an，即an＋1－an＝[(n＋1)2＋λ(n＋1)]－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ>0对任意的n∈N*恒成立，∴λ>－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又当n∈N*时，－(2n＋1)≤－3，故λ>－3.(－3，＋∞)核心考向突破考向一

利用an与Sn的关系求通项公式1．已知Sn求an的一般步骤(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值；(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式；(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an；(4)写出an的完整表达式．2．Sn与an关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．2．已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1·n，则a5＋a6＝________，an＝__________________．解析：a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．－2(－1)n＋1·(2n－1)考向二

由递推关系求数列的通项公式角度1累加法(1)(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝(

)A．1 B．2C．3 D．45

形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．

(2025·山东青岛质检)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，则an＝_________________．(2)(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝____________．(n＋1)·2n－2考向三

数列的性质

利用递推公式探求数列的周期性的两种思想(1)根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用an＋T＝an写出周期(n＋T)－n＝T.(2)利用递推公式“逐级”递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝(n＋T)－n.

(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2030＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2解析：由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则数列{an}是以6为周期的周期数列，所以a2030＝a338×6＋2＝a2＝1.故选C.

求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项或最小项．(2)通过通项公式研究数列的增减性，确定最大项及最小项．－90课时作业2．(2024·河南开封二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则a5＝(

)A．81 B．162C．243 D．486解析：数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，所以a5＝S5－S4＝35－34＝162.故选B.三、填空题12．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式为an＝_______________．13．已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，a1＝1，则数列{an}的通项公式为________．an＝n2202516．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2