2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-微专题(七) 利用递推关系求通项公式-构造法

第七章数列微专题(七)

利用递推关系求通项公式——构造法重点解读根据递推关系利用公式法、累加法、累乘法可求数列的通项公式．对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝anf(n)形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解．类型一an＋1＝can＋d(c≠0)(1)若数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则数列{an}的通项公式为______________．an＝4n－1－1(2)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，2an－Sn＝n，则{an}的通项公式为____________．an＝2n－1【名师点拨】形如an＋1＝can＋d(c≠0)：(1)当c＝1时，数列{an}为等差数列；(2)当d＝0，a1≠0时，数列{an}为等比数列；(3)当c≠1，d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求．①待定系数法：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，2．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－2n，则an＝________．解析：因为2Sn＝3an－2n，所以当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－2，解得a1＝2.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，两式相减得2an＝3an－3an－1－2，即an＝3an－1＋2.所以当n≥2时，an＋1＝3(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1.3n－1an＝3n－2＋2n【名师点拨】形如an＋1＝pan＋kn＋b(p≠0，1，k≠0)：待定系数法：通过配凑可转化为an＋1＋x(n＋1)＋y＝p[an＋xn＋y]．解题的基本步骤：①设等比数列{bn}满足bn＝an＋xn＋y，公比为p；②列出关系式an＋1＋x(n＋1)＋y＝p[an＋xn＋y]，即bn＋1＝pbn；③比较系数求x，y；④求出数列{an＋xn＋y}的通项公式，进而得出数列{an}的通项公式．类型三an＋1＝pan＋qn(p≠0，q≠0，1)(1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为________．an＝n·2n(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，则数列{an}的通项公式为____________．an＝3n－2n【对点训练】4.数列{an}满足an＋1＝5an＋3×5n＋1，a1＝6，则数列{an}的通项公式为_______________．5．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4×3n－1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为______________________．an＝4×3n－1－5×2n－1类型五an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)(1)若数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且对任意n∈N*(n≥2)都有an＋1＝2an－an－1＋2，则an＝____．n222n－3－1(3)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为_____________________．an＝(－1)n－1·2n＋3n【名师点拨】对于形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)型的递推关系式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根