2025年高考数学培优讲义3-构造函数：原函数与导函数混合还原问题

专题1-3原函数与导函数混合还原问题

常见函数的构造

模型1.对于f(x)g(x)，构造h(x)=f(x)−g(x)

模型2.对于不等式f'(x)k(k0)，构造函数g(x)=f(x)−kx+b.

模型3.对于不等式f'(x)+f(x)0，构造函数g(x)=exf(x)

拓展：对于不等式f'(x)+kf(x)0，构造函数g(x)=ekxf(x)

f(x)

模型4.对于不等式f'(x)−f(x)0，构造函数g(x)=

ex

模型5.对于不等式xf'(x)+f(x)0，构造函数g(x)=xf(x)

拓展：对于不等式xf'(x)+nf(x)0，构造函数g(x)=xnf(x)

f(x)

模型6.对于不等式xf'(x)−f(x)0，构造函数g(x)=(x0)

x

f(x)

拓展：对于不等式xf'(x)−nf(x)0，构造函数g(x)=

xn

f(x)

模型7.对于0，分类讨论：（1）若f(x)0，则构造h(x)=lnf(x);

f(x)

1/12

（2）若f(x)0，则构造h(x)=ln[−f(x)]

模型8.对于f(x)+lnaf(x)0(0)，构造h(x)=axf(x).

fx()

模型9.对于f(x)lnx+0(0)，构造h(x)=f(x)lnx.

x

模型10.（1）对于f(x)f(x)tanx(或f(x)f(x)tanx)，即f(x)cosx−f(x)sinx0(0)，

构造h(x)=f(x)cosx．

fx()

对于f(x)cosx+f(x)sinx0(0)，构造hx()=．

cosx

f(x)sinx−f(x)cosxf(x)

模型11.（1）f(x)sinx+=f(x)cosx[f(x)sinx]（2）=[]

sin2xxsin

解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为fg(x)fh(x)；

（2）判断函数fx()的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组），

但要注意函数奇偶性的区别

2/12

重点题型·归类精讲

题型一由导函数不等式构造函数解不等式

2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T8

1．若函数fx()为定义在R上的偶函数，当x(−,0)时，f(x)2x，则不等式

f(3x−1)−f(2)(3x−3)(3x+1)的解集为（）

11

A．−,−B．−,−(1,+)

3(3)

1

C．(1,+)D．−,1

3

2023·南京二模T8

2．已知函数fx()是定义在R上的可导函数，其导函数为fx()．若对任意xR有fx()1，

f(1+x)+f(1−x)=0，且f(02)=−，则不等式f(x−11)x−的解集为（）

A．(0,+)B．(1,+)C．(2,+)D．(3,+)

3．已知定义在(0,+)上的函数fx()的导函数为fx()，若fx()2，且f(45)=，则不等式

2

f(log22x)−logx3的解集是．

fx()

4．已知fx()是定义在R上的奇函数，其导函数为fx(),且当x＞0时，f(x)lnx+0，则不等式

x

(x2−10)f(x)的解集为（）

A．()－1,1B．()－,1－(0,1)

C．(－,－1)(1,＋)D．(－1,0)(1,＋)

5．已知函数fx()的定义域为(−,0),其导函数fx'()满足xf'(x)−20f(x),则不等式

f(x+2023)−(x+2023)2f(−1)0的解集为（）

A．(−−2024,2023)B．(−2024,0)C．(−,−2023)D．(−,−2024)

3/12

2023·广州2023届综合能力测试（一）T15

6．已知函数fx()的定义域为(0,+)，其导函数为fx()，若xf(x)−10.f(e)=2，则关于x的不等式

fx(ex)+1的解集为__________.

2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T8

1

7．设fx()是函数fx()的导函数，且f(x)3Rf(x)(x)，f=e（e为自然对数的底数），则不等式

3

f(lnx)x3的解集为（）

e1e3e3

A．0,B．,C．(0,e)D．,e

3e33

2023届长郡中学月考（六）·11

8．设函数fx()在R上存在导函数fx()，对任意的xR有f(x)+f(−x)=x2，且在[0,+)上f()xx，

若f(2−a)+2af(a)+2，则实数a的可能取值为（）

A.−1B.0C.1D.2

广州华南师大附中高三第一次月考·7

9．设函数fx()是奇函数f(x)()xR的导函数,f(−=10),当x0时,xf(x)−f(x)0则使得fx()0

成立的x的取值范围是()

A.(−,−1)(−1,0)B.(0,1)∪(1,+∞)

C.(−,−1)(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)

2022武汉高二下期中·7

10．定义在R上的函数fx()满足f(x)−f(x)1，fx()是fx()的导函数，且f(06)=，则不等式

fx()+51ex（其中e为自然对数的底数）的解集为（）．

A.(−,0)(1,+)B.(−,0)(3,+)

C.(0,+)D.(3,+)

11．已知函数fx()的导函数为fx()，且满足f(x)+f(x)0在R上恒成立，则不等式e2xfx(2+1)

4/12

e32−xfx(−)的解集是．

12．已知函数fx()的定义域是（-5，5），其导函数为fx()，且f(x)+xf(x)2，则不等式

(2x−3)f(2x−3)−(x−1)f(x−1)2x−4的解集是.

安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质检

11

13．已知函数fx()的定义域是R,f=，若对于任意的xR都有f(x)+40x，则当0,2时，

22

不等式f(sin)−cos20的解集为（）

55

A．,B．,

6633

55

C．0,,2D．0,,2

6633

14．已知函数fx()是定义在R上的可导函数，其导函数为fx()．若f(05)=，且f(x)−f(x)2，则使

不等式fx()+3ex2成立的x的值可能为()

1

A．－2B．－1C．−D．2

2

题型二由导函数不等式构造函数比大小

广东省四校2024届高三上学期10月联考（二）数学试题

1

2

15．已知函数fx()满足xf(x)lnx+f(x)0（其中fx()是fx()的导数），若af=e2，bf=(e)，cf=(e)，

则下列选项中正确的是（）

A．42cbaB．24bcaC．abc24D．a42cb

江苏南通市部分学校3月模拟·T8

16．已知fx()是可导的函数，且f(x)2f(x)，对于xR恒成立，则下列不等关系正确的是（）

5/12

A．e2f(0)f(1),e4040f(1)f(2021)B．e2f(0)f(1),e4040f(1)f(2021)

C．e2f(0)f(1),e4040f(1)f(2021)D．e2f(0)f(1),e4040f(1)f(2021)

2024届湖南师范大学附属中学月考(一)·T7

17．已知函数fx()的定义域为R，设fx()的导数是fx()，且f(x)f(x)+sinx0恒成立，则（）

ππππ

A．ff−B．ff−

2222

ππππ

C．ff−D．ff−

2222

18．已知偶函数fx()的定义域为R，导函数为fx()，若对任意x+0,)，都有2f(x)+xf(x)0恒成立，

则下列结论正确的是（）

A．f(00)B．9ff(−3)(1)C．4ff(2)−(1）D．ff(12)()

19．设定义在0,+)上的函数fx()0恒成立，其导函数为fx()，若f(x)−(x+1)f(x)ln(x+1)0，则

（）

A．2ff(1)(3)0B．2ff(1)(3)0

C．2ff(3)(1)0D．2ff(3)(1)0

20．设fx()是定义在R上的函数，其导函数为fx()，满足f(x)−xf(x)0，若af=41()，bf=22()，

cf=(4)，则（）

A．abcB．cabC．bcaD．cba

2023届菏泽市二模T8

21．已知定义在R上的函数fx()的导函数为fx()，满足f(x)=0,f(0)1，且f(x+2e)=f(−x)22x+，当

x1时，f(x)f(x)，则（）

6/12

1

−112e

A．f(−1e)B．feeC．f(2e)D．f(ee)

e

河南省洛阳市六校高三上10月联考·10

22．设定义在0,+)上的函数fx()0恒成立，其导函数为fx()，若f(x)−(x+1)f(x)ln(x+1)0，则

（）

A．2ff(1)(3)0B．2ff(1)(3)0

C．2ff(3)(1)0D．2ff(3)(1)0

23．定义在(0,)上的函数fx()，fx()是它的导函数，且恒有f(x)f(x)tanx成立，则（）．

2

A．3ff()2()B．ff(1)2()sin1

436

C．2ff()()D．3ff()()

6463

2022湖北六校高二下期中·11

1

24．（多选）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），其导函数是f'（x），且满足lnxf'(x)+f(x)>0，

x

则下列说法正确的是（）

11

A．f0B．f0C．f（e）＞0D．f（e）＜0

ee

25．已知定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数都存在，若f(x)g(x)+f(x)g(x)10x，且

f(2)g(2)−f(1)g(1)为整数，则f(2)g(2)−f(1)g(1)的可能取值的最大值为.

题型三由导函数不等式构造函数结合奇偶性解不等式

经典例题

26．设函数fx（'）是奇函数f()x(xR)的导函数f(−1)＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得

f（x）＜0成立的x的取值范围为．

7/12

深圳第二高级中学高二下期中T15

27．已知fx()为定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，xf(x)+f(x)0恒成立，不等式fx()0

的解集为_______________．

28．已知函数fx()是R上的奇函数，f(20)=，对x(0,+)，f(x)+xf(x)0成立，则(x−10)f(x)

的解集为．

2023届广东佛山高三上学期期末T16

29．已知fx()是定义在(−,0)(0,+)上的奇函数，fx()是fx()的导函数，当x0时，

xf(x)+2f(x)0，若f(2)=0，则不等式x2f(x)0的解集是________．

2023·湖北省·一模T16

30．已知函数fx()及其导函数fx()的定义域均为R，且满足f(x)=f(−x)−2x,x0时，fx()+10．若

不等式f(x+lna)f(x)−lna在−2,+)上恒成立，则a的取值范围是__________,

2023淄博市二模T8

31．已知定义在()−3,3上的函数fx()满足f(x)+e42xf(−x)=0,f(1)=e,f(x)为fx()的导函数，当x[0,3)时，

f(x)2f(x)，则不等式e24xfx(2−)e的解集为（）

A．(−2,1)B．(1,5)C．(1,+)D．(0,1)

广东省梅州市2022-2023学年高二下学期期末

32．已知fx()是定义在R上的偶函数，当x0时，有xf(x)+2f(x)0恒成立，则（）

1ff(2)(3)

A．4ff(1)B．

294

111

C．94ff−D．9ff(−1)−

233

8/12

2023届第七次百校大联考T8

xf+(x)f(x)

33．已知定义在R上的偶函数y=f()x的导函数为y=f()x，当x0时，0，且f(2)=1，

x

2

则不等式fx(2−1)的解集为（）

21x−

133131113

A．−,,+B．,+C．,D．−,,

222222222

2023届梅州二模T8

34．设函数fx()在R上存在导数fx()，对任意的xR，有f(−x)+f(x)=2x2，且在(0,+)上

f(x)2x．若f(3−a)−f(a)9−6a，则实数a的取值范围为（）

333

A.,+B.−,C.,3D.3,+)

222

2023届湖南湘考王3月模拟T8

35．设定义在R上的函数fx()满足f(−x)+f(x)=x2，且当x0时，f'()xx，其中fx'()为函数fx()的

1

导数，则不等式f(x)−f(1−x)x−的解集是（）

2

11

A．(−，1]B．[1，+)C．[)，+D．(]−，

22

2023届邵阳三模T8

x−1

36．定义在R上的可导函数f（x）满足f(x)−f(−x)=x(eexx+−)，且在(0,+)上有fx()+0若实数

ex

a满足f(2a)−f(a+2)−2ae−2a+ae−a−2+2e−a−20，则a的取值范围为（）

22

A．−,2B．2,+)C．−,−2,+)D．(−,2

33

2023届广东佛山·华南师大附中南海实验强化考（三）T8

37．设函数fx()在R上存在导函数fx()，对任意的实数x都有f(x)=4x2−f(−x)，当x(−,0)时，

9/12

1

f(x)+4x.若f(m+1)f(−m)+4m+2，则实数m的取值范围是（）

2

13

A．−,+B．−,+C．−1,+)D．−2,+)

22

38．fx()是定义域为(−,0)(0,+)上的奇函数，f(2)=0，当x0时，有xf(x)−f(x)0，则不等式

xf(x)0的解集为．

辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三）T8

39．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x(0,+)时，f(x)2x，f(24)=，则不等式

xf(x−12)+x23x+x的解集为（）

A．(−1,,0)(3+)B．(−1,1)(3,+)

C．(−,−1)(0,3)D．(−1,3)

fx()

40．已知定义在R上的连续偶函数y=f()x的导函数为y=f()x，当x0时，fx()+0，且f(2)=−3，

x

−6

则不等式fx(2−1)的解集为（）

21x−

1313

A．−,,+B．,

2222

31113

C．,+D．−,,

22222

题型四由等式构造函数

2024届山西大学附属中学10月月考T11

ππ

41．（多选）已知函数fx()的定义域为−,，其导函数为fx().若x+=f(x)sinxf(x)cosx，且

22

f(00)=，则（）

A．fx()是增函数B．fx()是减函数

C．fx()有最大值D．fx()没有极值

10/12

河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）

42．设函数fx()在R上存在导数fx()，对任意的xR，有f(x)−f(−x)=2sinx，且在0,+)上

π

f(x)cosx．若f−t−f(t)cost−sint．则实数t的取值范围为（）

2

πππππ

A．−,B．,+C．,D．,+

44422

山东省德州市2022-2023学年高二下学期期末

43．（多选）R上的函数fx()满足f(x)=ex+f(x)，且f(01)=，则下列说法正确的是（）

A．fx()在x=−2处取得极小值

B．fx()有两个零点

C．若x0，f(x)k恒成立，则k1

D．若x1，x2R，xx12，f(x12)=f(x)，则xx12+−4

1

44．（多选）已知fx()为函数fx()的导函数，若x2f(x)+=xf(x)lnx，f(1)=，则下列结论错误的是

2

A．xf(x)在(0,+)上单调递增B．xf(x)在(0,+)上单调递减

11

C．xf(x)在0,+上有极大值D．xf(x)在0,+上有极小值

()2()2

11/12

专题1-3原函数与导函数混合还原问题

常见函数的构造

模型1.对于f(x)g(x)，构造h(x)=f(x)−g(x)

模型2.对于不等式f'(x)k(k0)，构造函数g(x)=f(x)−kx+b.

模型3.对于不等式f'(x)+f(x)0，构造函数g(x)=exf(x)

拓展：对于不等式f'(x)+kf(x)0，构造函数g(x)=ekxf(x)

f(x)

模型4.对于不等式f'(x)−f(x)0，构造函数g(x)=

ex

模型5.对于不等式xf'(x)+f(x)0，构造函数g(x)=xf(x)

拓展：对于不等式xf'(x)+nf(x)0，构造函数g(x)=xnf(x)

f(x)

模型6.对于不等式xf'(x)−f(x)0，构造函数g(x)=(x0)

x

f(x)

拓展：对于不等式xf'(x)−nf(x)0，构造函数g(x)=

xn

f(x)

模型7.对于0，分类讨论：（1）若f(x)0，则构造h(x)=lnf(x);

f(x)

1/31

（2）若f(x)0，则构造h(x)=ln[−f(x)]

模型8.对于f(x)+lnaf(x)0(0)，构造h(x)=axf(x).

fx()

模型9.对于f(x)lnx+0(0)，构造h(x)=f(x)lnx.

x

模型10.（1）对于f(x)f(x)tanx(或f(x)f(x)tanx)，即f(x)cosx−f(x)sinx0(0)，

构造h(x)=f(x)cosx．

fx()

对于f(x)cosx+f(x)sinx0(0)，构造hx()=．

cosx

f(x)sinx−f(x)cosxf(x)

模型11.（1）f(x)sinx+=f(x)cosx[f(x)sinx]（2）=[]

sin2xxsin

解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为fg(x)fh(x)；

（2）判断函数fx()的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组），

但要注意函数奇偶性的区别

重点题型·归类精讲

题型一由导函数不等式构造函数解不等式

2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T8

1．若函数fx()为定义在R上的偶函数，当x(−,0)时，f(x)2x，则不等式

f(3x−1)−f(2)(3x−3)(3x+1)的解集为（）

11

A．−,−B．−,−(1,+)

3(3)

1

C．(1,+)D．−,1

3

【答案】D

2/31

【分析】根据不等式的结构，构造函数g(x)=−f(x)x2，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可.

【详解】令g(x)=−f(x)x2，

因为fx()为偶函数，即f(−=x)f(x)，

故g(−=x)g(x)，gx()为偶函数，当x(−,0)时，f(x)2x，则g(x)=f(x)−2x0,g(x)在(−,0)上

单调递增，

因为f(3x−1)−f(2)(3x−3)(3x+1)，即f(3x−1)−(3x−1)22f(2)−2，

1

所以g(3x−1)g(2)，故3x−12，解−x1，

3

1

所以不等式的解集为−,1.

3

2023·南京二模T8

2．已知函数fx()是定义在R上的可导函数，其导函数为fx()．若对任意xR有fx()1，

f(1+x)+f(1−x)=0，且f(02)=−，则不等式f(x−11)x−的解集为（）

A．(0,+)B．(1,+)C．(2,+)D．(3,+)

【答案】D

【分析】构造g(x)=−f(x)x，确定函数单调递增，计算f(22)=，g(20)=，转化得到g(x−12)g()，

根据单调性得到答案.

【详解】设g(x)=−f(x)x，则g(x)=f(x)−10恒成立，故函数在R上单调递增.

f(1+x)+f(1−x)=0，则ff(2)+=(0)0，即f(22)=，

故gf(2)=(2)−2=0.

f(x−11)x−，即gx(−10)，即g(x−12)g()，故x−12，解得x3.

3．已知定义在(0,+)上的函数fx()的导函数为fx()，若fx()2，且f(45)=，则不等式

2

f(log22x)−logx3的解集是．

【答案】(1,16)

【分析】构造函数g(x)=f(x)−2x+3，由导数确定其单调性，题设不等式化为g(log2x)g(4)，再利用单

3/31

调性变形求解．

【详解】令g(x)=f(x)−2x+3，则g(x)=f(x)−20，

∴gx()在(0,+)上是减函数，

gf(4)=(4)−8+3=0，

2

不等式f(log22x)−logx3化为f(log22x)−2logx3，

即f(log22x)−2logx+30，也即为g(log2x)g(4)，

所以0log2x4，1x16.

故答案为：(1,16)，

fx()

4．已知fx()是定义在R上的奇函数，其导函数为fx(),且当x＞0时，f(x)lnx+0，则不等式

x

(x2−10)f(x)的解集为（）

A．()－1,1B．()－,1－(0,1)

C．(－,－1)(1,＋)D．(－1,0)(1,＋)

【答案】B

【分析】构造新函数g(x)=f(x)lnx，利用导数确定gx()的单调性，从而可得x0时fx()的正负，利用奇

函数性质得出x0时fx()的正负，然后分类讨论解不等式．

fx()

【详解】设g(x)=f(x)lnx，则g(x)=f(x)lnx+0，所以gx()在(0,+)上递增，

x

又g(1)=0，所以x1时，g(x)=f(x)lnxg(1)=0，此时lnx0，所以fx()0，

01x时，g(x)=f(x)lnxg(1)=0，此时，lnx0，所以fx()0，

所以x(0,1)(1,+)时，fx()0，

因为fx()是奇函数，所以x(−,−1)(−1,0)时，fx()0，

x2−10x2−10

由(x2−1)f(x)0得或，所以x−1或01x．

fx()0fx()0

关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数g(x)=f(x)lnx，利用导数确定单调性后，得出

fx()0的解．

5．已知函数fx()的定义域为(−,0),其导函数fx'()满足xf'(x)−20f(x),则不等式

2

f(x+2023)−(x+2023)f(−1)0的解集为（）

A．(−−2024,2023)B．(−2024,0)

4/31

C．(−,−2023)D．(−,−2024)

【答案】A

fx()

【分析】由题可得当x(−,0)时，xf(x)−20f(x)，构造函数gx()=，可判断gx()在(−,0)上的

x2

单调性，进而可将不等式转化为g(x+2023)g(−1)，利用gx()的单调性，可求出不等式的解集.

【详解】由题意知，当x(−,0)时，xf'(x)−2f(x)0，

fx()

设gx()=，

x2

x2f'(x)−−2xf(x)xf'(x)2f(x)

则gx'()==0，

xx43

所以gx()在(−,0)上单调递减，

f(x+−2023)f(1)

2

不等式f(x+2023)−(x+2023)f(−1)0等价于22，

(x+2023)(−1)

x+2023−1

即为g(x+2023)g(−1)，所以，

x+20230

解得−2024x−2023.

故选：A.

2023·广州2023届综合能力测试（一）T15

6．已知函数fx()的定义域为(0,+)，其导函数为fx()，若xf(x)−10.f(e)=2，则关于x的不等式

fx(ex)+1的解集为__________.

【答案】(1,+)

1xf(x)−1

【解析】令函数g(x)=f(x)−lnx,x0，则g(x)=f(x)−=0，因此函数gx()在(0,+)上单调

xx

递减，

gf(e)=(e)−lne=1，因此fx(ex)+1f(ex)−x1g(ex)g(e)，即eex，解得x1，

所以不等式fx(ex)+1的解集为(1,+).

2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T8

1

7．设fx()是函数fx()的导函数，且f(x)3Rf(x)(x)，f=e（e为自然对数的底数），则不等式

3

5/31

f(lnx)x3的解集为（）

e1e3e3

A．0,B．,C．(0,e)D．,e

3e33

【答案】C

fx()3

【分析】构造函数gx()=，由已知可得函数gx()在R上为增函数，不等式f(lnx)x即为

e3x

1

g(lnx)g，根据函数的单调性即可得解.

3

fx()f(x)−3f(x)

【详解】解：令gx()=，则gx()=，

e3xe3x

因为f(x)3Rf(x)(x)，

f(x)−3f(x)

所以gx()=0，

e3x

所以函数gx()在R上为增函数，

fx(ln)

3<1

不等式f(lnx)x即不等式x3，

x>0

1

f(lnx)f(lnx)f

又gx(ln)==，13，

e3lnxx3g==1

3e

31

所以不等式f(lnx)x即为g(lnx)g，

3

1

即lnx，解得0ex3，

3

所以不等式f(lnx)x3的解集为(0,3e