2020-2021学年四川省遂宁市高三第一次诊断性考试数学(文科)试题

第页，共页四川省遂宁市2020-2021学年高三第一次诊断性考试数学（文科）试题一、单选题（本大题共12小题）1.设集合，，则等于（

）A． B．C． D．2.i是虚数单位，若，则等于（

）A．-5 B．-1 C．1 D．53.某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（

）A．32 B．45 C．64 D．904.函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．5.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A．72 B．64 C．56 D．326.设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7.若，，则的值为（

）A． B． C．0 D．8.执行如图所示的程序框图，输出（

）A．19 B．24 C．26 D．339.已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．10.已知函数.若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．11.已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点，若，则（

）A．3 B． C． D．12.已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，，若，则实数的值为.14.已知实数，满足约束条件则的最小值为.15.关于函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；

②在的最小值是；③在上是单调递增函数；

④是图象的一条对称轴.其中所有正确结论的序号是.16.如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，三棱锥体积的最大值为，则当的面积最大时，线段的长度为.三、解答题（本大题共7小题）17.第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查.某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：人户登记自主填报合计户主45岁以上200户主45岁及以下240640合计1000(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系?(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户.若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，记所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.18.如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.(1)当时，求线段的值；(2)若为正三角形，求四边形面积的最大值.19.若等比数列的各项为正，前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和.20.如图，四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，且，.交于点，为的重心.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.21.已知函数.(1)函数是否存在极小值?若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由；(2)若，求证：22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，将射线绕极点逆时针旋转后得到射线.设与曲线相交于点，与曲线交于点.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若，求的值.23.已知函数.(1)解不等式；(2)设的最小值为，正实数，，满足，求证：.

参考答案1.【答案】B【分析】由一元二次不等式结合集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合，所以故选：B2.【答案】C【分析】将等式右面化简，再结合对应关系可求.【详解】由，所以，，则.故选：C3.【答案】D【分析】根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案.【详解】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.故选：D.4.【答案】A【分析】先求导数，令求解不等式可得答案.【详解】由题可知，由，解得.所以单调递减区间为.故选：A.5.【答案】A【分析】先根据三视图还原几何体，然后求解几何体的体积.【详解】根据三视图可推理得知该几何体是一个长方体中挖去了一个正四棱锥剩下的几何体，还原成直观图如图：故该几何体的体积为.故选：A.6.【答案】B【分析】求出的解集，进而判断出“”是“”的什么条件.【详解】由，解得：或，所以“”不是“”的充分条件；若，则，此时，所以“”是“”的必要条件，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B7.【答案】D【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.【详解】因为，，所以且，解得，所以.故选：D8.【答案】D【分析】按照程序框图的流程计算出结果.【详解】程序运行第1次，；第2次，；第3次，；……；第7次，.此时，输出，则.故选：D9.【答案】C【分析】根据是顶角为120°的等腰三角形，建立等式，解方程可得结果.【详解】如图，设直线与轴的交点为，由是顶角为120°的等腰三角形，知，.于是，在中.而，故.结合得，即，解得.故选：C.10.【答案】C【分析】利用函数的单调性与奇偶性结合指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】解：，所以为偶函数，且时，单调递增，单调递增，所以时，单调递增.所以，由于，，则故选：C.11.【答案】A【分析】设，，，联立抛物线，应用韦达定理及已知条件求、，结合抛物线的定义求、，即可求目标式的值.【详解】设，，直线.联立抛物线得：，则.由直线与抛物线准线交于，则.由得：，即，则.∴，，，故选：A.12.【答案】A【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.【详解】当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则时，.当时，.作出大致图象，函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个根.令，则需方程.（l）在区间和上各有一个实数根，令函数，则解得.（2）方程（*）在和各有一根时，则即无解.（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.综上，.故选：A13.【答案】1【分析】根据向量坐标的线性运算求出，再根据，得，从而可得出答案.【详解】解：，因为，所以，解得.故答案为：1.14.【答案】【分析】由约束条件画出可行域，结合的几何意义可求最值.【详解】根据约束条件的不等式组，作出可行域是以，，三点为顶点的三角形及其内部，如图：将目标函数转化为，当直线过点时，取得最小值，最小值为-4.故答案为：15.【答案】①②④【分析】先利用辅助角公式化简函数，结合所给的四个结论逐一验证.【详解】根据题意，得.所以函数的最小正周期为，命题①正确；当时，，所以当时取得最小值，命题②正确；在上单调递增，在单调递减，命题③不正确；的图象对称轴为，当时，，所以命题④正确.故答案为：①②④.16.【答案】【分析】根据题意，设，则，可知当面积最大，即时，三棱锥体积的最大值为，根据三棱锥的体积公式进行计算求出，由圆的性质可知，由线面垂直的性质得出，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而有，根据勾股定理求出，再由三角形面积和基本不等式得出，即得出的面积最大值，当且仅当时等号成立，从而可求出此时线段的长度.【详解】解：设，则，由平面，，可知当面积最大，即时，三棱锥体积的最大值为，所以，解得：，由是的直径知，即，而平面知，所以平面，所以，则，故，当且仅当时等号成立，此时，.故答案为：.17.【答案】(1)表格见解析，有(2)【分析】（1）根据提供的数据可以填写表格，计算卡方，根据附表可得结论；（2）先求所有基本事件，再求符合条件的基本事件，利用古典概率的求解方法可得答案.(1)补充后的列联表为：人户登记自主填报合计户主45岁以上160200360户主45岁及以下240400640合计4006001000，因此，有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系.(2)这6户中户主年龄在45岁以上2户，记为，；年龄在45岁及以下有4户，记为，，，.从这6户中选取2户的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.其中恰好1户的户主年龄在45岁以上的基本事件有8个.所以，所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上的概率为.18.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件利用余弦定理可得答案；（2）设，用表示出四边形的面积，结合三角函数知识化简求解最值.(1)在中，由余弦定理得：.所以.(2)设，所以，则.所以当时，四边形的面积取得最大值.19.【答案】(1)(2)【分析】（1）设公比为，则由已知可得，求出公比，再求出首项，从而可求出数列的通项公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用错位相减法可求得结果(1)设各项为正的等比数列的公比为，，，则，，，即，解得或（舍去），所以，所以数列的通项公式为.(2)因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式两边同乘以，得②由①②等式两边相减，得，所以数列的前项和.20.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由已知条件可得，得，再由为的重心，，则有，从而可得，再由线面平行的判定可证得结论，（2）由已知可得和为正三角形，连接并延长交于点，有，则面，从而可得，然后由已知条件求解，(1)证明：在图中：连接并延长交于点，连接.由底面为梯形，，，，则.又由为的重心，，则，所以.而平面，平面，所以平面.(2)由，，则为正三角形.又，.所以为正三角形.因为平面平面，平面平面，在中，连接并延长交于点，有，所以面.又，则.因为，，，所以.又为正三角形，，则，，所以，故.21.【答案】(1)存在，(2)证明见解析【分析】（1）先求出导函数，然后分，和三种情况通过判断导函数的正负可求出函数的极值，（2）要证，只要证即可，令，，只需证明即可，然后利用导数分别求解的最大值和的最小值即可(1)由题意（其中），当时，函数不存在极值.当时，令，则.若，可知时，，时，，则此时为的极小值点，符合题意.若，可知时，，时，，则此时为的极大值点，不合题意.综上，存在极小值时，的取值范围是.(2)由不等式得（其中），即证明（其中）.令，，只需证明即可.又，，则时，；时，.则时，取得极大值，即的极大值为，也即为最大值.由，得，则时，；时，.则时，取得极小值，即的极小值为，也即为最小值..由于，即有，则所以时，不等式成立.22.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由曲线的参数方程消去得其普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式化为极坐标方程，（2）设，，则由可得，从而可得，再利用三角函数恒等变换公式可求得答案(