2020年山东省青岛市崂山区青岛高考一模数学试卷

2020年山东省青岛市崂山区青岛XX中学高考一模数学试卷（2020·青岛市崂山区·模拟）已知集合A=xx2−4x+3<0，B= A．1,3 B．1,4 C．2,3 D．2,4（2020·青岛市崂山区·模拟）若复数z满足z1−i=i，其中i为虚数单位，则 A．1−i B．1+i C．−1−i （2020·青岛市崂山区·模拟）要得到函数y=sin4x−π3的图象，只需要将函数 A．向左平移π12个单位 B．向右平移π C．向左平移π3个单位 D．向右平移π（2020·青岛市崂山区·模拟）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60∘，则BD⋅ A．−32a2 B．−34a2（2020·青岛市崂山区·模拟）若“∀x∈0,π4，tanx≤m”是真命题，则实数 A．1 B．2 C．3 D．0（2020·青岛市崂山区·模拟）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90∘，C为该球面上的动点．若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O A．36π B．64π C．144π（2020·青岛市崂山区·模拟）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的离心率为 A．5 B．2 C．3 D．2（2020·青岛市崂山区·模拟）已知点P在曲线y=4ex+1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 A．0,π4 B．π4,π2 C．（2020·青岛市崂山区·模拟）函数fx=cos A．ω=π B．φ=π C．x=3 D．k+14,0（2020·青岛市崂山区·模拟）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，下列事件是互斥事件的是   A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件 B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件 C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件 D．至少一个白球事件和全是白球事件（2020·青岛市崂山区·模拟）下列命题正确的是   A．平行于同一直线的两条直线互相平行 B．垂直于同一平面的两个平面互相平行 C．若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1 D．若直线l1，l2垂直于同一平面，则l1（2020·青岛市崂山区·模拟）已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有fx−1=fx+1成立，当x∈0,1且 A．f1 B．fx在−2,2上有5 C．f2014 D．直线x=1是函数y=fx（2020·青岛市崂山区·模拟）a+x1+x4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=（2020·青岛市崂山区·模拟）已知两个单位向量a，b的夹角为60∘，c=ta+1−tb，若（2020·青岛市崂山区·模拟）已知函数fx=ax+ba>0,a≠1的定义域和值域都是（2020·青岛市崂山区·模拟）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p>0）交于O（2020·青岛市崂山区·模拟）已知数列an的前n项和Sn=1+λ(1)证明an(2)若S5=31（2020·青岛市崂山区·模拟）设fx(1)求fx(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2=0，a=1（2020·青岛市崂山区·模拟）如图，在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45∘，求平面（2020·青岛市崂山区·模拟）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得−1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分x的分布列和数学期望EX．（2020·青岛市崂山区·模拟）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F(1)求椭圆C的方程．(2)设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A（2020·青岛市崂山区·模拟）已知函数fx(1)求fx(2)若在1,ee=2.71828⋯⋯上存在一点x0，使得

答案1.【答案】C【解析】因为A=xx所以A∩B=x【知识点】交、并、补集运算2.【答案】A【解析】z=故选A．【知识点】复数的乘除运算3.【答案】B【解析】由题可知y=sin4x−π12故选B．【知识点】三角函数的图象变换4.【答案】D【解析】因为菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60所以BA2=aBD⋅故选：D．【知识点】平面向量的数量积与垂直5.【答案】A【解析】“∀x∈0,π4可得tanx≤1所以，m≥1，实数m的最小值为：1．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断6.【答案】C【解析】△AOB的面积为定值，当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O−ABC的体积取得最大值．由16R3从而球O的表面积S=4π【知识点】球的表面积与体积7.【答案】D【解析】如图所示，由双曲线的对称性，不妨设M在第一象限．由题知∠ABM=120∘，易求M点坐标为2a,3a，代入x2所以c2所以e=c【知识点】双曲线的简单几何性质8.【答案】D【解析】yʹ=−4因为ex所以−1≤yʹ<0，即−1≤tan所以3π故选D．【知识点】利用导数求函数的切线方程9.【答案】A；C；D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10.【答案】A；B【知识点】事件的关系与运算11.【答案】A；D【解析】对于A项，由于平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线平行，故A正确；对于B项，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，如空间直角坐标系，故B错误；对于C项，当直线l1，l2与同一平面平行时，满足与同一平面所成角相等但l1对于D项，直线l1，l2垂直于同一平面，则l1综上所述选AD．【知识点】空间的平行关系12.【答案】A；B；C【解析】由题意，令x=0代入fx−1=fx+1因为函数y=fx是定义在R所以f1=−f1又因为对∀x∈R都有f所以fx=fx+2，则函数f所以f−2=f0因为函数y=fx是定义在R所以f−1因为当x∈0,1且x1≠所以fx在0,1由奇函数得，fx在−2,2上有5由fx=fx+2和奇函数得，−f−x=f故D不正确．故选ABC．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的单调性13.【答案】3【解析】方法一：设展开式中x的奇数次幂项的系数之和为m，偶数次幂项的系数之和为n，令x=1得m+n=16a+1，再令x=−1得n−m=0，故32=8a+1．解得方法二：1+x4的展开式的通项为C4rxr，其中r可取0，1，2，3，4．a+11−x4的展开式中x的所有奇数次幂项为a所以系数和为8a+8=32，所以a=3．方法三：直接将a+x1+x4展开得由题意得1+6+4a+1+4a【知识点】二项式定理的通项14.【答案】2【解析】因为c=ta+所以c⋅所以tcos所以1−12t=0【知识点】平面向量的数量积与垂直15.【答案】−3【解析】因为fx所以当0<a<1时，fx因为fx的定义域和值域都是−1,0所以a−1+b=0,a0+b=−1,当a>1时，fx所以a−1综上可知，a+b=−3【知识点】指数函数及其性质16.【答案】32【解析】有题意知y=bxa,所以A−2pba抛物线C2的焦点坐标为0,AC2=2pba解得b2a2所以e=3【知识点】双曲线的简单几何性质17.【答案】(1)an当n=1时，S1=a1=1+λ由Sn=1+λa两式作差得：λ−1a即an所以an是首项为a1=11−λ(2)λ=−1．由（1）得Sn由S5=31即λλ−1解得λ=−1．【知识点】根据n项和式和n项积式求通项、等比数列的前n项和18.【答案】(1)fx由−π解得−π4+k由π2+2kπ≤2x≤解得π4+kπ≤2x≤所以fx的单调增区间是−π4单调减区间为π4+kπ,(2)fA2=由题意知A是锐角，所以cosA=由余弦定理知a2可得1+3即bc≤2+3且当b=c因此12所以△ABC面积的最大值为2+3【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、余弦定理19.【答案】(1)根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥所以EF∥BH，且EF=BH，所以四边形所以BE∥HF，HF⊂平面FGH，同样，因为GH为△ABC中位线，所以GH∥又因为DE∥AB，所以DE∥GH，所以所以平面BDE∥平面FGH，BD⊂(2)连接HE，则HE∥CF，所以CF⊥平面ABC．所以所以HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则H0,0,0，G0,1,0，F1,0,1，B根据已知条件BA=BC，G为AC中点，所以BG⊥AC．又CF⊥平面ABC，所以BG⊥CF，AC∩CF=C，所以BG⊥平面所以向量BG=1,1,0为平面ACFD的法向量．设平面FGH的法向量为则n⋅取z=1得n=设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则cosθ=所以平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为60∘【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题20.【答案】(1)个位数是5的“三维递增数”有125，135，145，235，245，345．(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C9随机变量X的取值为：0，−1，1，因此PX=0PX=−1PX=1所以X的分布列为X0【知识点】离散型随机变量的数字特征、离散型随机变量的分布列21.【答案】(1)由题意可设两圆其中一个交点为M，则有MF1+M又ca=3可得b=1，c=3所以椭圆C的方程为x2(2)由（1）知椭圆E的方程为x2设Px0,y0由于x0又−λx02所以λ=2，即OQOP【知识点】椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系22.【答案】(1)fxfʹx①当1+a≤0，即a≤−1时，在0,+∞上fʹx所以，函数fx在0,+∞②当a+1>0时，即a>−1时，在0,1+a上fʹx<0，在1+a,+∞上所以fx在0,1+a上单调递减，在1+a,+∞故答案为：①a≤−1时，函数fx在0,+∞上单调递增，②a>−1时，fx在0,1+a上单调递减，在(2)在1,e上存在一点x0，使得即函数fx=x+1+a由（1）可知，当a+1≤0，即a≤−1时，fx