2020年上海市黄浦区高考二模(暨下学期期中)数学试卷

2020年上海市黄浦区高考二模（暨下学期期中）数学试卷（2020·上海黄浦区·模拟）行列式1247（2020·上海黄浦区·模拟）计算：limn→∞n2（2020·上海黄浦区·模拟）椭圆x22+（2020·上海黄浦区·模拟）若函数fx的反函数为f−1x=x（2020·上海黄浦区·模拟）若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于（2020·上海黄浦区·模拟）不等式1x−1<1（2020·上海黄浦区·模拟）若等比数列an的前n项和Sn=3×2n（2020·上海黄浦区·模拟）在3x−2xn（2020·上海黄浦区·模拟）若函数fx=x2−2,x≤1lg（2020·上海黄浦区·模拟）设θ∈0,2π，若圆x−cosθ2+y−sinθ（2020·上海黄浦区·模拟）设φ∈0,2π，若关于x的方程sin2x+φ=a在区间0,π上有三个解，且它们的和为4（2020·上海黄浦区·模拟）已知复数集合A=x+yi x≤1,y≤1,x,y∈R，B=z2 （2020·上海黄浦区·模拟）设x∈R，“x>0”是“xx+1>0 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件（2020·上海黄浦区·模拟）已知梯形ABCD，AB∥CD，设AB=e1，向量e2的起点和终点分别是A，B，C，D中的两个点，若对平面中任意的非零向量a，都可以唯一表示为e1 A．6 B．8 C．10 D．12（2020·上海黄浦区·模拟）在某段时间内，甲地不下雨的概率为P10<P1<1 A．P1P2 C．P11−P2（2020·上海黄浦区·模拟）在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，下列说法中正确的是   A．用a，b，c为边长不可以作成一个三角形 B．用a，b，c为边长一定可以作成一个锐角三角形 C．用a，b，c为边长一定可以作成一个直角三角形 D．用a，b，c为边长一定可以作成一个钝角三角形（2020·上海黄浦区·模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，E为AB的中点．(1)求证：直线AʹE∥(2)求异面直线AʹE与BʹC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2020·上海黄浦区·模拟）经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．具体如下：年存储成本费T（元）关于每次订货x（单位）的函数关系为Tx=Bx2+ACx，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？（2020·上海黄浦区·模拟）已知函数fx(1)设a∈R，判断函数g(2)设函数Fx=2fx−3．对任意b∈（2020·上海黄浦区·模拟）双曲线Γ:x(1)若Γ的一条渐近线方程为y=2x，求Γ的方程；(2)设F1，F2是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF1⊥PF2（2020·上海黄浦区·模拟）已知以a1为首项的数列an满足：(1)当a1=−13时，且−1<a(2)若数列an（1≤n≤10，n∈N∗）是公差为−1

答案1.【答案】−1【解析】12【知识点】二阶行列式2.【答案】13【解析】因为limn→∞【知识点】数列极限（沪教版）3.【答案】2【解析】因为椭圆x22+y2=1中所以焦距为2c=2．【知识点】椭圆的几何性质4.【答案】9【解析】因为函数fx的反函数为f−1x=x所以fx=x【知识点】反函数5.【答案】36π【解析】设球的半径为R，因为球主视图的面积为9π所以9π=πR2【知识点】球的表面积与体积6.【答案】(−∞,−1)∪(3,+∞)【解析】因为1x−1<1所以x−1>2或x−1<−2，即x>3或x<−1，因此，原不等式的解集为−∞,−1∪【知识点】绝对值不等式的求解7.【答案】−3【解析】因为等比数列an的前n项和S所以an所以a1=3，又a1【知识点】等比数列的前n项和8.【答案】112【解析】由题意可得：2n=256，所以结合二项式展开式通项公式可得：Tr+1令8−4r3=0可得：r=2，则常数项为：【知识点】二项式定理的通项9.【答案】m≤9【解析】因为函数fx=x所以fx在每一部分都单调递增，且1即m≤1,1−2≤lg1−m【知识点】函数的单调性、分段函数10.【答案】25【解析】因为圆x−cosθ2又圆x−cosθ2+y−所以∀θ∈0,2π，使得圆心到直线的距离即r≥2其中tanφ=2，又−1≤sinθ−φ≤1，所以【知识点】直线与圆的综合问题11.【答案】π6或7【解析】因为关于x的方程sin2x+φ=a在区间且函数y=sin2x+φ的最小正周期为方程sin2x+φ=a在区间0,π上的解的最小值与最大值分别为0又它们的和为4π3，所以中间的解为所以有a=sinφ=sin故tanφ=33，又φ∈【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12.【答案】72【解析】因为复数集合A=x+y所以集合A所对应的平面区域为x=±1与y=±1所围成的正方形区域；又B=z设z1=a+bi，且a≤1，所以z2设z2对应的点为x,y，则x=34又a≤1，b≤1，所以因为复数z∈A∩B，z对应的点Z在复平面内所形成图形即为集合A与集合B所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示．由题意及图象易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可．由x+y=32,y=1得B1所以S阴影【知识点】平面向量的加减法及其几何意义13.【答案】A【解析】解不等式xx+1>0可得x>0或所以，由“x>0”能推出“x>0或x<−1”；由“x>0或x<−1”不能推出“x>0”，故“x>0”是“xx+1【知识点】充分条件与必要条件14.【答案】B【解析】因为对平面中任意的非零向量a，都可以唯一表示为e1，e所以e1，e又AB=e1，向量e2起点和终点分别是A，B，所以，起点和终点分别是A，B，C，D中的两个点的向量与e1共线的有AB，BA，CD，DC又起点和终点分别是A，B，C，D中的两个点的向量共有A4因此，满足题意的e2的个数为12−4=8【知识点】空间向量基本定理15.【答案】D【解析】因为甲地不下雨的概率为P1，乙地不下雨的概率为P且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内两地都下雨的概率为P=1−【知识点】独立事件积的概率16.【答案】B【解析】因在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，所以a+b>c，b+c>a，a+c>b，所以a+b2同理可得b+c>故a，b，c可以作为三角形的三边．若a，b，c分别对应三角形的三边，根据余弦定理可得：a2a2c2即a，b，c所对应的三个角均为锐角，所以用a，b，c为边长一定可以作成一个锐角三角形．【知识点】余弦定理17.【答案】(1)以Dʹ为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则Aʹ2,0,0，E2,1,2，因为x轴垂直于平面CCʹDʹD，所以n=1,0,0是平面因为AʹE⋅n=0，即AʹE⊥n所以由基础命题2，得直线AʹE平行于平面CCʹDʹD．(2)建系，同（1），则Bʹ2,2,0，C0,2,2，BʹC=设AʹE与BʹC的夹角为θ，则cosθ=故异面直线AʹE与BʹC所成的角的大小为arccos10【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18.【答案】(1)Tx=120x将x=300代入，得T300因此，该化工厂年存储成本费为68000元．(2)因为120x2所以Tx≥60000，当且仅当x=500，且因此，每次订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型19.【答案】(1)gx=a⋅fx当a=0时，gx=cosx，当a≠0时，gπ4=g−π4≠gπ(2)Fx令Fx=0，得x=2kπ+π3因为b,b+10π恰含5所以，当b是零点时，在区间b,b+10π上的零点个数为11当b不是零点时，b+kπ(k∈区间b+kπ,b+k+1π上恰有两个零点，故在b,b+10综上，y=Fx在b,b+10π上零点个数的所有可能值为11或【知识点】余弦函数的性质、正弦函数的性质20.【答案】(1)因为双曲线Γ:x2−所以b=2，因此，Γ的方程为x2(2)双曲线定义可得