2020年上海市静安区高考二模(暨下学期期中)数学试卷

2020年上海市静安区高考二模（暨下学期期中）数学试卷（2020·上海静安区·模拟）若sinx=63，则cos（2020·上海静安区·模拟）若幂函数y=fx的图象经过点18,2，则f（2020·上海静安区·模拟）若二项式x+1xn展开式的二项式系数之和为64（2020·上海静安区·模拟）若函数y=fxx∈R是偶函数，在区间−∞,0上是增函数，x=2是其零点，则（2020·上海静安区·模拟）现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为．（2020·上海静安区·模拟）在平面直角坐标系xOy上，由不等式组0≤x≤2,y≤2,x≤2y所确定的区域为D，若Mx,y为区域D（2020·上海静安区·模拟）已知A，B是球心为O的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为O0,0,0，A2,−1,1，B0,2,2（2020·上海静安区·模拟）设由复数组成的数列an满足：对任意的n∈N∗，都有an+1an=i（（2020·上海静安区·模拟）一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度AB=30米，则当水面升高1米后，水面宽度为米．（精确到0.1米）（2020·上海静安区·模拟）设Ann,ynn∈N∗是函数y=2x+1x的图象上的点，直线x=n+1与直线y=yn（2020·上海静安区·模拟）如图，直线MN是互相垂直的异面直线MP和NQ的公垂线，若MN=1，PQ=2，则四面体PMNQ的体积的最大值为．（2020·上海静安区·模拟）设x∈R，则“x2−5x<0”是“x−1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（2020·上海静安区·模拟）方程2x2−9xy+8y2①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于直线y=x对称． A．①③ B．②③ C．①④ D．①②（2020·上海静安区·模拟）当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约   A．7天 B．10天 C．13天 D．16天（2020·上海静安区·模拟）如图所示，圆锥的底面⊙O半径为2，A是圆周上的定点，动点B在圆周上逆时针旋转，设∠AOB=θ0<θ<2π，C是母线SB的中点．已知当θ=π2时，(1)求该圆锥的侧面积；(2)若AC⊥OB，求θ的值．（2020·上海静安区·模拟）若函数fx①fx的图象向左平移π②对任意的x∈R都有f(1)求fx(2)若锐角△ABC的内角B满足fB=1，且∠B的对边b=1，求△ABC的周长（2020·上海静安区·模拟）已知抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，且(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为0,0和1,2？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知△ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2．（2020·上海静安区·模拟）设数列an的每一项均为正数，对于给定的正整数k，bn=an⋅a(1)求证：若an是等比数列，则an是(2)请你写出一个不是等比数列的B1(3)设an为B1数列，且满足a2

答案1.【答案】13【解析】cosπ−2x【知识点】二倍角公式2.【答案】−2【解析】设fx=x所以α=−1所以f−【知识点】幂函数及其性质3.【答案】20【解析】因为2n=64，n=6，所以展开式的常数项为【知识点】二项式定理的通项4.【答案】(−2,2)【解析】因为f2由图易知，解集为−2,2．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性5.【答案】2021【解析】P=1−C【知识点】古典概型6.【答案】4【解析】最优解为2,2，z=OM⋅【知识点】平面向量数量积的坐标运算、线性规划7.【答案】π【解析】OB=2，OA⋅所以A，B两点的球面距离为π．【知识点】球面距离8.【答案】0【解析】a1，ia1，−a1，−ia1，周期为【知识点】数列的周期性9.【答案】26.5【解析】建系，设抛物线解析式为x2代入15,−5，得p=−22.5，所以x2令y=−4，得x2=180，所以宽度为125【知识点】抛物线的概念与方程10.【答案】1【解析】由题设知：Ann,2n+1n，显然△AnBSn【知识点】数列极限（沪教版）11.【答案】14【解析】PM⊥平面MNQ，设NQ=x，则MQ=x2+1V=当且仅当x2【知识点】棱锥的表面积与体积12.【答案】B【解析】x2−5x<0等价于0<x<5，x−1<1【知识点】充分条件与必要条件13.【答案】A【解析】对2x2−9xy+8y2=0变形，得以x,−y代替x,y，方程改变，所以曲线C不关于x轴对称，②错误；以−x,−y代替x,y，方程不改变，所以曲线C关于原点对称，③正确；以y,x代替x,y，方程改变，所以曲线C不关于直线y=x对称，④错误．【知识点】由方程研究曲线的性质14.【答案】C【解析】a1=1000，an+1所以an−800是首项为200，公比为所以an=800+200⋅54n−1n≥log【知识点】辅助数列法15.【答案】(1)∠AOB=π2，设D为OB中点，连接CD，则CD∥因为SO⊥平面所以CD⊥平面所以∠CAD=arctan在Rt△AOD中，OA=2，∠AOD=π2，得得CD=5×tan故，SA=4，S=1(2)解法一：如图建立空间直角坐标系O−xyz，则A2,0,0，B2cosθ,2sinAC=cosθ−2,由题意，AC⋅因为0<θ<2π所以θ=π解法二：设D为OB中点，连接CD，则CD∥所以CD⊥OB．又因为AC⊥OB，可得OB⊥平面所以OA=AB．所以△AOB是等边三角形．故θ=π解法三：设E为SO中点，连接CE，AE，所以AC⊥CE．设D为OB中点，连接CD，AD，所以CD⊥AD．在△ADO中，由余弦定理，有AD所以，在Rt△ADC中，AC在△AOE中，有AE所以，在Rt△ACE中，AE2=A因为0<θ<2π所以θ=π【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题16.【答案】(1)由题意，可得最小正周期T=π，由T=2π因为fx≤fπ2⋅π6+φ=又因为0≤φ<π，所以φ=π6(2)因为2sin2B+π又因为0<π−B−A<π2，0<A<因为bsin所以a=2sinA所以l=2因为A+π6∈【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17.【答案】(1)第三个顶点的坐标为31,0但点2,−2不在抛物线Γ上，所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB的方程为y=4x+t，与y2=4x联立，得设Ax1,y1y1+y由x1+x2+代入方程y2=4x，解得m=−5，所以直线AB的方程为(3)设直线BC的方程为x=ny+m，与y2=4x联立，得因为直线BC与抛物线Γ相交，故判别式Δ=16ny2+y点A的坐标为−4n又因为点A在抛物线Γ上，故16n2=−16因为m>−n2，所以故点A的横坐标−4n【知识点】抛物线的简单几何性质、抛物线中的动态性质证明、直线与抛物线的位置关系18.【答案】(1)设an是公比为q对于给定的正整数k，bn=abn+1bn=a故an为B(2)an简洁的例子如：an(3)因为an为B1数列，所以bn所以bn+1所以an+2ann∈N以下用数