2020年上海市青浦区高考一模数学试卷

2020年上海市青浦区高考一模数学试卷（2020·上海青浦区·模拟）已知集合A=1,2,3,4，B=0,2,4,6,8，则A∩B=（2020·上海青浦区·模拟）函数y=2x的反函数是（2020·上海青浦区·模拟）行列式123456（2020·上海青浦区·模拟）已知复数z满足z+4z=0，则∣z∣=（2020·上海青浦区·模拟）圆锥底面半径为1 cm，母线长为2 cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=（2021·上海青浦区·模拟）已知等差数列an的首项a1=1，公差d=2，其前n项和为Sn，则（2021·上海青浦区·模拟）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dca,b,c,d∈N∗，则b+da+c是x的更为精确的近似值．已知15750<π<227（2020·上海青浦区·模拟）在二项式x+1ax25a>0（2020·上海青浦区·模拟）点A是椭圆C1:x225+y216=1与双曲线C2（2020·上海青浦区·模拟）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小，形状，材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）（2020·上海青浦区·模拟）记am为数列3n在区间0,mn∈N∗中的项的个数，则数列am的前100（2020·上海青浦区·模拟）已知向量e的模长为1，平面向量m，n满足：m−2e=2，n−e（2020·上海青浦区·模拟）已知a,b∈R，则“a=b”是“a+b2= A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（2021·上海青浦区·模拟）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是   A．①② B．①④ C．②③ D．③④（2020·上海青浦区·模拟）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P−13,y A．22−36 B．22+36（2020·上海青浦区·模拟）设函数fx=−x,x∈P1x,x∈M，其中P，（1）一定有AP（2）若P∪M≠R，则A（3）一定有P∩M=∅；（4）若P∪M=R，则A其中正确的个数是   A．1 B．2 C．3 D．4（2020·上海青浦区·模拟）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：直线BD(2)求异面直线BD1与（2020·上海青浦区·模拟）设函数fx=x(1)若fx为偶函数，求a(2)设a>0，gx=fxx（2020·上海青浦区·模拟）如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=π4，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为(1)分别求线段PM，PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；(2)求S的最小值．（2020·上海青浦区·模拟）已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离大1(1)求动点M所在的曲线C的方程；(2)已知点P1,2，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直线AB(3)已知点P1,2，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB（2020·上海青浦区·模拟）若无穷数列an和无穷数列bn满足：存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有an−b(1)设无穷数列an和bn均是等差数列，且an=2n，bn=n+2n∈(2)设无穷数列an是首项为1，公比为13的等比数列，bn=an+1+1，n∈N∗(3)设无穷数列an是首项为1，公差为dd∈R的等差数列，无穷数列bn是首项为2，公比为qq∈N∗

答案1.【答案】2,4【知识点】交、并、补集运算2.【答案】y=log【知识点】反函数3.【答案】−3【知识点】三阶行列式4.【答案】2【知识点】复数的乘除运算5.【答案】π【知识点】圆锥的展开图6.【答案】4【知识点】等差数列的前n项和、数列极限（沪教版）7.【答案】20164【知识点】算法案例8.【答案】2【知识点】二项式定理的通项9.【答案】21【知识点】椭圆的几何性质、双曲线的简单几何性质10.【答案】1318【知识点】古典概型11.【答案】284【知识点】等比数列的前n项和12.【答案】[−1,8]【知识点】平面向量的数量积与垂直13.【答案】B【知识点】充分条件与必要条件14.【答案】C【知识点】空间的平行关系15.【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义16.【答案】B【知识点】交、并、补集运算17.【答案】(1)证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，又因为P是DD故PO∥又因为PO⊂平面PAC，所以直线BD(2)由(1)知，PO∥所以异面直线BD1与AP所成的角就等于PO与故∠APO即为所求；因为PA=PC=2，AO=12所以sin∠APO=所以∠APO=30即异面直线BD1与AP所成角的大小为【知识点】异面直线所成的角18.【答案】(1)因为fx为偶函数，且x∈所以f−x即−x2即∣−x−a∣=∣x−a∣⇔∣−x−a∣所以4ax=0对一切x∈R所以a=0．(2)因为a>0，且x∈0,a所以gx任取0<xgx因为0<x所以x1−x又gx在区间0,a所以x1x2所以a≥a又a>0，所以0<a≤1．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性19.【答案】(1)在△PME中，∠EPM=θ，PE=AE−AP=4米，∠PEM=π4，由正弦定理得：PMsin所以PM=PE×同理在△PNE中，由正弦定理得：PNsin所以PN=PE×当M与E重合时，θ=0；当N与D重合时，tan∠APD=3，即∠APD=θ=π所以0≤θ≤3(2)△PMN的面积S=因为0≤θ≤3所以当2θ+π4=S取得最小值为82所以可视区域△PMN面积的最小值为82【知识点】解三角形的实际应用问题、三角函数模型的应用20.【答案】(1)已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离大1等价于动点M到直线x=−1的距离和到点F1,0由抛物线的定义可得曲线C的方程为y2(2)设直线PA的斜率为k，因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为−k，则lPA:y−2=kx−1y−2=kx−1,y即ky+2k−4y−2=0同理：y−2=−kx−1,y即ky+2k+4y−2=0所以kAB=−4−2kk−(3)设直线PA的斜率为k，所以直线PB的斜率为2−k，则lPA:y−2=kx−1y−2=kx−1,y所以可得A2−k同理得：y−2=2−kx−1,所以可得Bk22−k所以lAB:y−2k所以直线AB恒过−1,0．【知识点】抛物线中的动态性质证明、抛物线的概念与方程21.【答案】(1)因为an=2n，若数列an与bn具有关系则对任意的n∈N∗，均有即∣2n−n+2∣≤1，亦即但n=4时，∣n−2∣=2>1，所以数列an与bn不具有关系(2)因为无穷数列an是首项为1，公比为1所以an因为bn=2所以an所以数列an与bn具有关系设A的最小值为A0，a因为an−b若0<A0<13n>2这与“对任意的n∈N∗，均有所有A0=1，即A的最小值为(3)因为数列an是首项为1，公差为dd∈R的等差数列，无穷数列bn是首项为所以an=a设1−d=a，2q=b>0，则an=dn+a，数列an与bn具有关系PA使得对任意的n∈N∗，均有（Ⅰ）当d=0，q=1时，an−b则an−bn≤A，数列a（Ⅱ）当d=0，q≥2时，假设数列an与bn具有关系则存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有因为bn所以，对任意的n∈N∗，即bqn≤1+A所以n≤log这与“对任意的n∈N∗，均有（Ⅲ）当d≠0，q=1时，假设数列an与bn具有性质则存在正常数A，使得对任意的n∈N∗，均有因为an所以，对任意的n∈N∗，即an≤2+A，所以∣dn∣−∣a∣≤2+A，n≤∣a∣+2+A这与“对任意的n∈N∗，均有（Ⅳ）当d≠0，q≥2时，假设数列an与bn具有性质则存