2020年上海市徐汇区高三数学第一学期期末质量抽查试卷

2020年上海市徐汇区高三数学第一学期期末质量抽查试卷（2020·上海徐汇区·模拟）已知集合M=xx>2，集合N=x（2020·上海徐汇区·模拟）向量a=3,4在向量b=（2020·上海徐汇区·模拟）二项式3x−111的二项展开式中第3项的二项式系数为（2020·上海徐汇区·模拟）复数1+i3+4i（2020·上海徐汇区·模拟）已知y=fx是定义在R上的偶函数，且它在0,+∞上单调递增，那么使得f−2≤fa成立的实数（2020·上海徐汇区·模拟）已知函数fx=arcsin2x+1，则（2020·上海徐汇区·模拟）已知x∈R，条件p:x2<x，条件q:1x≥aa>0，若（2020·上海徐汇区·模拟）已知等差数列an的公差d=3，Sn表示an的前n项和，若数列Sn是递增数列，则（2020·上海徐汇区·模拟）数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为．（2020·上海徐汇区·模拟）过抛物线C:y2=2x的焦点F，且斜率为3的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF（2020·上海徐汇区·模拟）已知数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N∗，Sn=−1（2020·上海徐汇区·模拟）已知函数fx=−4x+1,x>−1x2+6x+10,x≤−1，关于x的不等式fx（2020·上海徐汇区·模拟）过点−1,0，且与直线x+15=y+1 A．3x+5y−3=0 B．3x+5y+3=0 C．3x+5y−1=0 D．5x−3y+5=0（2020·上海徐汇区·模拟）一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是   A．1:2 B．1:8 C．2:2 D．2（2020·上海徐汇区·模拟）若圆C1:x2+y2 A．−9,11 B．−25,−9 C．−∞,−9∪11,+∞ D．（2020·上海徐汇区·模拟）设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC A．−3010 B．−55 C．−6（2020·模拟）如图所示，圆锥SO的底面圆半径OA=1，母线SA(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角大小．（2020·上海徐汇区·模拟）设函数fx=x2+∣x−a∣(1)若fx为偶函数，求实数a(2)设a>12，求函数fx（2020·上海徐汇区·模拟）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30∘方向8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75∘(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1 km(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1 km（2020·上海徐汇区·模拟）给正有理数mini，mjnj（i≠j；i,j∈N∗；①若mi+ni<②若mi+ni=mj+nj且ni<nj，则(1)依次写出数列an的前10(2)对数列an中小于1的各项，按以下规则Q①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列bn，求数列bn的前10项的和S10，前2019(3)对数列an中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A=c1,c2,c3,⋯,c（2020·上海徐汇区·模拟）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0．点A为椭圆短轴的上端点，P(1)若a=5，判断椭圆Γ(2)若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；(3)若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点．直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

答案1.【答案】(−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算2.【答案】3【知识点】平面向量数量积的坐标运算3.【答案】55【知识点】二项式定理的通项4.【答案】725【知识点】共轭复数、复数的乘除运算5.【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【知识点】函数的单调性、抽象函数、函数的奇偶性6.【答案】−1【知识点】反三角函数7.【答案】(0,1]【知识点】充分条件与必要条件8.【答案】(−3,+∞)【知识点】等差数列的前n项和、数列的单调性9.【答案】840【知识点】数字组成模型10.【答案】3【知识点】抛物线的简单几何性质11.【答案】(−3【知识点】根据n项和式和n项积式求通项12.【答案】[27【知识点】函数的零点分布13.【答案】B【知识点】直线与直线的位置关系14.【答案】C【知识点】圆锥的表面积与体积15.【答案】D【知识点】圆与圆的位置关系16.【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直17.【答案】(1)因为OA=1，SA所以在Rt△SOA中，h=SO所以圆锥的体积V=1侧面展开图扇形的面积S=1(2)解法一：以OP，OA，OS所在射线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则有P1,0,0，S0,0,22，A于是PS=−1,0,22设向量PS与AM的夹角为θ，则cosθ=所以，异面直线AM与PS所成角大小为arccos4解法二：取线段OP中点N，连MN，则MN∥SP且∠AMN（或其补角）为异面直线AM与PS的夹角，OA=1，OM=2所以AM=3，AN=cos∠AMN=所以，异面直线AM与PS所成角大小为arccos4【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18.【答案】(1)由已知，f−x即∣x−a∣=∣x+a∣，解得a=0．(2)fx当x≥a时，fx的最小值为f当x<a时，fx的最小值为f由于a2所以函数fx的最小值为a−【知识点】函数的最大（小）值、函数的奇偶性19.【答案】(1)设BD=x，则由余弦定理52即x2−83x+39=0，解得所以x=43−3，这条公路的长约为(2)在△ABD中，由正弦定理得ADsin所以sin∠ABD=在△CBD中，sin∠DCB=由正弦定理得CD=4景点C与景点D之间的距离约为4.0 km【知识点】解三角形的实际应用问题、正弦定理、余弦定理20.【答案】(1)11，21，12，31，22，13，41(2)显然mi+n于是按题设规则排列，数列an各项中分子与分母和为2分子与分母和为3的设为第二组，有两个数；分子与分母和为4的设为第三组，有三个数；⋯分子与分母和为n+1的设第n组，有n个数．数列an中小于1的项mnm<n,m,n∈N∗在数列a按题设规则排列得数列bn各项依次为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1将此数列分母相同的各项分为一组，第n组中各项为1n+1，2n+1，3n+1，⋯其和Tn数列Tn为等差数列，通项为Tbn前10项和S设b2019在第n组，则有nn−12因为64×632所以b2019为第64组的第3故S2019综上，S10=5，(3)A=1,2,3,⋯2018,2019设B=d1,d2,d则dk−d1，dk−d设M=d则M⊆A，M∩B=∅．所以k+k−1≤2019得k能否取到1010，我们构造B=1,3,5,7,⋯,2019则集合A的子集B符合题设，所以集合B中元素个数最大值为1010．解法二：由A=1,2,3,⋯,2018,2019，我们构造奇数集合B=由于任意两个奇数的和一定是偶数，所以对任意的x,y∈B，有x+y∉B，即集合A的子集B符合题设，假设存在a∈A，使得集合C=1,3,5,7,⋯,2019,a满足题设，则必有n∈N∗，1≤n≤1009，使a=2n，于是存在b=2m−1m∈N所以a+b∈C与题设矛盾．综上，集合B中元素个数最大值为1010．【知识点】数列创新题21.【答案】(1)设Px,y，则x25∣PA∣=x因为y∈−2,2所以仅在y=−2时，∣PA∣所以椭圆Γ是“圆椭圆”．(2)设Px,y，则x∣PA∣