空间向量与立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练（解析版）

(2)求平面ADE与平面ACD所成夹角的余弦值．因为DEC平面BCDE，所以AO丄DE．又AO∩OE=O，且AO,OEC平面AOE,AO丄DE,DE丄OE，：DE丄平面AOE；易得O(0,0,0(,A(0,0,3(,C(1,0,0(,D(1,3,0(,E(-1,1,0(，AD=(1,3,-3(,AE=(-1,1,-3(设平面ABE的一个法向量为=(x1,y1,z1)，则令y解得又,3,-3)，,0,-3)．设平面ADE与平面ACD所成夹角为θ,PBC，点M为PC中点．(2)若PA=AB=BC=2，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值．【详解】(1)在平面PAB内，过点A作AH⊥PB于点H.所以AH⊥平面PBC，因为BC⊂平面PBC，所以AH⊥BC. 又因为BC⊥AB，AH∩AB=A，AH,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.所以PA⊥平面ABC.所以BC⊥AB.过点B且平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系B-xyz因为M为PC的中点，所以M(1,1,1(.=0(=02=(1,1,0(.设平面ABM和平面PAC的夹角为θ,则所以平面ABM和平面PAC夹角的余弦值为.(2)求EF与平面ECA的正弦值．∵EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC⎳平面AEF；∵平面AEF∩平面ABC=l，BC⊂平面ABC，∴l⎳BC.∵平面PAC⊥底面ABC，平面PAC∩底面ABC=AC，BC⊥AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC，∴l⊥平面PAC.(2)设EF与平面PAC的夹角为θ.∵E是PC的中点，∴平面ECA即平面PAC；即EF与平面ECA的正弦值为1.(1)证明：AC⊥平面BOD；所以AC⊥OD，AC⊥OB，所以AC⊥平面BOD．此时平面ACD⊥平面ABC，因为DO⊥AC，所以DO⊥平面ABC． 因为正方形ABCD的边长为2，设平面ABD的一个法向量=(x,y,z(，2x2y=02x2y=0(n.AD=0(-即CD与ABD所成的角的正弦值为(2)求二面角C-AE-P的余弦值．又因为平面ABCD丄平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，COC平面ABCD，所以PA丄平面ABCD.A(0,0,0(,P(0,0,2(,D(2,0,0(二面角C-AE-P为锐角，所以二面角C-AE-P的余弦值为.(1)证明:l丄平面ADD1A1;BB1与平面NAC所成的角最大时，求MN. ADD1A1；因为DD1丄平面ABCD,CDC平面ABCD，所以DD1丄CD，由于AD∩DD1=D,AD,DD1C平面ADD1A1，所以CD丄平面ADD1A1.由于CD聂AB,CD≠平面ABB1A1，ABC平面ABB1A1，A(2,0,0(,C(0,2,0(,B(2,2,0(,B1(1,1,1(，则M(0,0,2(，设N(0,t,2(，由于.>0，=(-2,2,0(，=(-1,-1,1(，=(0,t-2,2(，设平面NAC的法向量为=(x,y,z(，令u,0<u故MN=4.(2)若△ABC是等边三角形，BC=CC1=2，平面ADE分割三棱柱ABC-A1B1C1所得两部分的体积之E与平面ADE所成的角的余弦值.又ADC平面ADE，所以平面ADE丄平面BCC1B1.ABC-ABC=12V三棱锥E-ADC，S△ABC=2S△ADC，设A1E与平面ADE所成的角为α;-1,3,-1(， 设平面ADE的一个法向量为=(x,y,z(，所以直线A1E与平面ADE所成的角的余弦值为.由(1)得AD⊥平面BCC1B1，又DE⊂平因为AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面ACC1A1，所以平面ABC⊥平面ACC1A1，又因为平面ABC∩平面ACC1A1=AC，DH⊂平面ABC，DH⊥AC，所以DH⊥平面ACC1A1.所以直线A1E与平面ADE所成的角的余弦值为.C(2)求二面角E-DB-A1的正弦值．⊥DO，0,-,，==(0,3,3(，设平面EDB的法向量为=(x,y,z(，,3,3(．,3,-3(．即二面角E-DB-A1的正弦值为．PB=PC=PD=5．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)线段PB上是否存在点M(不包括端点)，使得平面PAB与平面MCD夹角的余弦值为？若存在， 取AD中点O，连接PO,OB,OC.因为PA=PD=5，O是AD中点，故PO，得PO⊥OB.因为AD∩OB=O，AD,OB⊂平面ABCD，故PO⊥平面ABCD.又PO⊂平面PAD，因此平面PAD⊥平面ABCD.假设存在点M(x0,y0,z0(使得满足题意．设=λ⇒(x0-3,y0-1,z0(=λ(3,1,1(，其中0<λ<1.反解得：M点坐标为：M(3-3λ,λ-1,λ(设平面ABP的法向量为=(x1,y1,z1(，设平面MCD的法向量为=(x2,y2,z2(，故不存在点M使得满足题意．因为SA∩AD=A,SA,ADC平面SAD，所以AB丄平面SAD，而ABC平面S则SO丄AD,ON丄AD,SOAD=2，又SOC平面SAD,AD为平面SAD和平面ABCD的交线，所以SO丄平面ABCD， 则A(0,-2,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2)，,4,0(,=(2,-2,-2(，设平面AMC的法向量为,y,z)，所以cos◆故二面角A-CM-S的正弦值为．11.(2026·湖北孝感·模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长；【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PA⊥AB，再结合AB⊥AD得到AB⊥平面PAD，最后根据面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PAD；又AB丄AD，PA∩AD=A，所以AB丄平面PAD，又因为AB∈平面PAB，所以平面PAB丄平面PAD.设AB=AP=t，则B(t,0,0(，P(0,0,t(，由AB+AD=3，得AD=3-t，所以F(0,3-t-2,0(，C(2,3-t-2,0(，D(0,3-t,0(，CD=(-2,2,0(，PD=(0,3-t,-t(，设平面PCD的法向量为=(x,y,z(-tt,t,3-t(.又PB=(t,0,-t(，由直线PB与平面PCD所成的角为30O，t>0)， :PO丄BC，丫POC面POG,OGC面POG,PO∩OG=O，:BC丄面POG,丫BCC平面BEC，:平面POG丄平面BEC．POC平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC,:PO丄平面ABCD，OG丄BC，则P(0,0,3(,σA(1,3,0(,B(1,0,0(,C(-1,0,0(,D(-1,3,0(,E(,,23(，=(-1,0,-3(,=(-1,3,-3(，设Q(a,b,c(，则QB=(1-a,-b,-c(,PQ=(a,b,c-3(-0,,-．设平面PCD的一个法向量为=(x1,y1,则y1=0,z1=-1，所以=(3,0,-1(，故平面QAB与平面PCD夹角的余弦值为．方法二：设平面BEC与棱PD相交于点F，设平面BEFC∩平面POG=OH，OH∩PG=H，则H为PG中点，所以PQ⊥面BCFE，由(1)知平面POG⊥平面BCFE，所以PQ⊂平面POG，又平面POG∩平面BCFE=OH且PQ⊥OH，且PM=MQ，因为H为PG中点PH=OHPG由对称性可知，△PHM≅△QHM,∠PHM=∠QHM=60°,设HQ交OG于点K，则K为OG中点，则OKHK=KQPO由PO⊥面ABCD,BC⊥CD，可得PC⊥CD，则平面PCD与平面ABCD夹角为∠PCO=60°,设平面QAB与平面ABCD夹角为α,同理可得tan则平移可得平面QAB与平面PCD夹角为60°-α,则tan即cos故平面QAB与平面PCD夹角的余弦值为． 13.(2026·四川成都·三模)在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,△PAD为正三角形，四边形ABCD为矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为.(1)求证：AM丄PC；(2)求平面ABM与平面PBC夹角的余弦值.理证明AM丄平面PCD，最终得证AM丄PC.又因为平面PAD丄平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD，所以CD丄平面PAD.又AMC平面PAD，所以CD丄AM.因为△PAD为正三角形，M是PD的中点，所以AM丄PD.又AM丄CD,PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD，所以AM丄平面PCD.又PCC平面PCD，所以AM丄PC.因为平面PAD丄平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD，所以PO丄平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设AB=a,AD=2,a>0，则B(a,-1,0(,P(0,0,3(,A(0,-1,0(,D(0,1,0(,C(2,1,0(，M(0,,0,,,=(-a,1,3(.设平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1(.因为PB与平面ABCD所成角的正弦值为而AB=(2,0,0(，设平面ABM的一个法向量为=(x1,y1,z1(，所以=(0,1,-3(，且BP=(-2,1,3(,BC=(0,2,0(，设平面PBC的一个法向量为=(x2,y2,z2(，所以平面ABM与平面PBC夹角的余弦值为.(1)证明：BD⊥PC；(2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值.【分析】(1)取线段BD的中点E，求证BD⊥平面PCE即可；【详解】(1)取线段BD的中点E，连接PE,CE，因为AB=AD，BC=CD，所以PE⊥BD,CE⊥BD，因为PE∩CE=E,PE,CE⊂平面PCE，所以BD⊥平面PCE，因为PC⊂平面PCE，所以BD⊥PC；(2)作BF⊥PC，垂足为F，连接DF，因为PB=PD,BC=CD,PC=PC，所以△PBC,△PDC全等，所以DF⊥PC，BF=DF，则∠BFD或其补角为平面PBC与平面PCD所成角，PE⊥BD，所以PE⊥平面BCD， 在△FBD中cos∠BFD故平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A-PC-D的正弦值．【分析】(1)根据条件线面垂直的判定定理可得AD⊥平面PCM，进而即得；又PM∩CM=M，PM,CM⊂平面PCM，所以AD⊥平面PCM，又PC⊂平面PCM，所以PC⊥AD．因为AD⊥平面PCM，所以AD⊥PO，又因为AD∩CM=M,AD,CM⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.则A(1,-1,0(，C(0,1,0(，D(-1,-1,0(，P(0,0,2(，AC=(-1,2,0(，CP=(0,-1,2(，CD=(-1,-2,0(，设平面PCD的一个法向量为=(x2,y2设二面角A-PC-D的大小为θ,则所以二面角A-PC-D的正弦值为(2)若三棱锥C-AA1B体积为，求二面角C-A1B1-B的大小．而CD∩BD=D,CD,BDC平面BCD，则AA1丄平面BCD，又BCC平面BCD，所以CB丄AA1. (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，由(1)得AA1⊥平面AA1B1B，在平面BCD内过点B作Bz⊥BD，则Bz⊥平面AA1B1B，直线BD,BB1,Bz两两垂直，,A1(2,2,0(,B1(0,22,0(，=(-2,2,0(，由图知二面角C-A1B1-B的平面角为锐角，所以二面角C-A1B1-B的大小为.(2)求直线AE与平面PBC所成角的余弦值的取值范围．【详解】(1)取AB中点M，连接DM交EA于Q，连接PM，丫M是AB中点PM丄AB.丫平面PAB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB,PM丄AB，：PM丄平面ABCD，:△EBA~△MAD,：LEAB=LMDA，：LAQD=180O-LQAD-LQDA=180O-LQ：EA丄MD.丫EA丄MD,EA丄PM,PM、MDC平面PMD,PM∩MD=M：EA丄平面PMDAE丄PD.(2)作AH丄PB于H，连EH. ∴CB⊥平面PAB.又∵CB⊂平面PBC，平面PAB⊥平面PBC，∴AH⊥平面PBC.∴A到平面PBC的距离即AH，则直线AE与平面PBC所成角为∠AEH，∴sin∠AEHcos∠AEH=1-sin2α∈,1(∴直线AE与平面PBC所成角的余弦值的取值范围为.C(1)证明：BD⊥平面ABEF．(2)设=t(t∈(0,1))，记二面角E-BD-G的平面【分析】(1)先用面面垂直的性质定理推导出EB⊥BD，再利用勾股定理逆定理证得底面内BD⊥AB，【详解】(1)平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD于AB，因为四边形ABEF为矩形，所以EB⊥AB，EB⊂平面ABEF，所以EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EB⊥BD，因为EB∩AB=B，EB,AB⊂平面ABEF，所以BD⊥平面ABEF．(-,,0,-,3(，x+,y-,z(=t,-,3t,-t,3t(，则tan (2)求DF与平面ACF所成角的正弦值.利用面面垂直的性质证明AE丄BC，再根据线面垂直的判定定理证明BC丄平面ACE.再根据线面垂直的判定定理证明BC丄平面ACE.所以AC=23，又AC2+BC2=AB2，所以BC丄AC，因为平面ABCD丄平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，且AE丄AB，所以AE丄平面ABCD，因为BCC平面ABCD，所以AE丄BC，因为AE∩AC=A，AE，ACC平面ACE，所以BC丄平面ACE.所以四边形AOCD与四边形BODC均为菱形，因为平面ABCD丄平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，且AE丄AB，所以AE丄平面ABCD，因为DOC平面ABCD，所以AE丄DO，根据线面垂