湖南农业大学 《高等数学》课件第7章矢量与向量

数量关系

—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—

点,

线,

面基本方法

—

坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;机动目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束3.向量与数的乘法

是一个数,规定:可见

与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此机动目录上页下页返回结束定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与

a

同向,设又有b＝

a,机动目录上页下页返回结束“”则例1.

设M

为解:ABCD对角线的交点,已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b机动目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r

可用向径OM

表示.机动目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得机动目录上页下页返回结束例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称

=∠AOB(0≤

≤

)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,

,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作机动目录上页下页返回结束方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量机动目录上页下页返回结束例8.设点A

位于第一卦限,解:已知作业

P3003,5,13,14,15,18,19角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹第二节目录上页下页返回结束备用题解:

因1.

设求向量在x

轴上的投影及在y轴上的分向量.在y

轴上的分向量为故在x

轴上的投影为机动目录上页下页返回结束2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为

对角线的长为解：为边的平机动目录上页下页返回结束*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积*混合积

第七章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为机动目录上页下页返回结束记作故2.性质为两个非零向量,则有

机动目录上页下页返回结束3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动目录上页下页返回结束例1.

证明三角形余弦定理证:则如图.设机动目录上页下页返回结束4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束例2.

已知三点

AMB.解:则求故机动目录上页下页返回结束为

).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力机动目录上页下页返回结束1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,

称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝机动目录上页下页返回结束2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:机动目录上页下页返回结束4.向量积的坐标表示式设则机动目录上页下页返回结束向量积的行列式计算法(行列式计算见P339～P342)机动目录上页下页返回结束例4.已知三点角形

ABC

的面积解:

如图所示,求三机动目录上页下页返回结束一点M

的线速度例5.设刚体以等角速度

绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:

在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为

,

方向与旋转方向符合右手法则,向径机动目录上页下页返回结束*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积

.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动目录上页下页返回结束2.混合积的坐标表示设机动目录上页下页返回结束3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动目录上页下页返回结束例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:

已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动目录上页下页返回结束例7.

证明四点共面.解:

因故A,B,C,D

四点共面.机动目录上页下页返回结束内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束混合积:2.向量关系:机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动目录上页下页返回结束证:由三角形面积