新教材版数学人教B版必修5课件：2.2.1 等差数列

2.2

等差数列2.2.1等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.3.理解等差数列的性质.1.等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.名师点拨1.定义中从“第2项起”,这一条件是指第1项是首项,前面没有其他项.2.“每一项与它的前一项的差”说明了运算的顺序,必须是后项减前项,而且必须是相邻的两项.3.“同一常数”是指每一项与它前一项的差必须相同,否则不是等差数列.【做一做1】

如果一个数列的前3项分别为1,2,3,那么下列结论中正确的是(

)A.它一定是等差数列

B.它一定是递增数列C.它一定是有穷数列

D.以上结论都不一定正确答案:D2.等差数列的通项公式如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d.名师点拨等差数列通项公式的其他形式.(1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数).【做一做2-1】

已知数列{an}的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列(

)A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列解析:已知a1=7,an-an-1=2(n≥2),故这是一个以2为公差的等差数列.答案:A【做一做2-2】

等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是

(

)A.92 B.47 C.46 D.45解析:由已知,得a1=1,d=(-1)-1=-2,∴an=1+(n-1)×(-2)=-2n+3.令-2n+3=-89,得n=46.答案:C3.等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y.归纳总结1.当三个数成等差数列时,一般设为a-d,a,a+d;当四个数成等差数列时,一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.2.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,表示为an+1=,等价于an+an+2=2an+1,an+1-an=an+2-an+1.【做一做3】已知在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则∠B等于(

)A.30° B.60°

C.90° D.120°答案:B一二三一、解读等差数列的概念剖析:(1)在等差数列的定义中,要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”.因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起,如果一个数列,不从第2项起,而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列.一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差,尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这个常数可以不同.(2)求公差d时,可以利用d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an来求.(3)公差d∈R,当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.一二三(4)d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an是证明一个数列是等差数列的依据,切忌只通过计算数列中特殊几项的差,发现它们是同一常数,就断定此数列为等差数列.一二三二、等差数列的性质剖析:若数列{an}是公差为d的等差数列,(2)an=am+(n-m)d(n,m∈N+).(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.(5)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=….(6)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(7)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.一二三(8)若数列{bn}也为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也成等差数列.(9)若{an}是等差数列,则a1,a3,a5,…仍成等差数列.(10)若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数列.一二三三、教材中的“?”(1)通项公式为an=an-b(a,b是常数)的数列都是等差数列吗?剖析:通项公式为an=an-b(a,b为常数)的数列都是等差数列,其公差为a.剖析:因为x,A,y成等差数列,所以A-x=y-A,即2A=x+y.(3)要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?剖析:因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件.题型一题型二题型三题型四题型五等差数列的判断【例1】

判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2;(2)an=n2+n.分析:利用等差数列的定义,即判断an+1-an(n∈N+)是否为常数.解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知,这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.利用定义法判断等差数列时,关键是看an+1-an得到的结果是否是一个与n无关的常数,若是,即为等差数列,若不是,则不是等差数列.2.等差数列的判断方法.(1)定义法:an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d⇔数列{an}是等差数列;(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列;(3)通项公式法:an=an+b⇔数列{an}是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】

已知

成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.分析:要证明三个数成等差数列,一般只要证明中间项是另两项的等差中项即可.∴(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),∴a2+c2=2b2,∴a2,b2,c2也成等差数列.题型一题型二题型四题型五题型三等差数列的通项公式及其应用【例2】

已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列{an}的通项公式,并判断-34是数列{an}的项吗?分析:由数列前三项和为18,前三项积为66,列出关于a1和d的方程组,通过解方程组求得a1和d,由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出an;由an=-34求n,然后由n∈N+可判断.题型一题型二题型四题型五题型三又该数列为递减数列,所以d=5不合题意,所以该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=11-5(n-1)=-5n+16.令-5n+16=-34,解得n=10.即-34是数列{an}中的项,为第10项.题型一题型二题型四题型五题型三【互动探究】

若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”,其余条件不变,结果如何?答案:an=5n-4,-34不是数列{an}中的项.反思1.已知等差数列的首项和公差,可以求得这个数列中的任一项.2.在等差数列中,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得第四个量,即“知三求一”.3.待定系数法求等差数列的通项公式是基本方法.题型一题型二题型四题型五题型三

题型一题型二题型三题型四题型五等差数列性质的应用【例3】

已知在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a3+a9.分析:既可以用等差数列的性质得到a2+a10=a3+a9=2a6,也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解.解:方法一:根据等差数列的性质,得a2+a10=a3+a9=2a6.又a2+a6+a10=1,题型一题型二题型三题型四题型五方法二:根据等差数列的通项公式,得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d.反思方法一运用了等差数列的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数);方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算,属于通法.两种方法都运用了整体代换及方程的思想.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】

已知在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,求2a9-a10的值.解:∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24.故2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.题型一题型二题型三题型四题型五【例4】

在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通项公式.分析:由于题中数列{an}是等差数列,则联想到利用等差数列的性质求解.解:∵a3+a13=a8+a8=2a8,a3+a8+a13=12,∴3a8=12,即a8=4.又a3a8a13=28,∴a3+a13=8,a3a13=7.题型一题型二题型三题型四题型五反思用通项公式解答等差数列问题的基本方法主要是:(1)采用基本量法,即解得数列的首项a1,公差d,运用通项公式解决问题;(2)灵活运用性质,这是简化等差数列运算的有效手段.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】

已知在等差数列{an}中,a49=80,a59=100,求a79的值.分析:(1)采用基本量法求解;(2)灵活运用性质求解.方法二:因为a59=a49+(59-49)d,所以a79=a59+(79-59)d=100+20×2=140.方法三:因为a49,a59,a69,a79,…成等差数列,所以a79=a49+(4-1)(a59-a49)=80+3×20=140.题型一题型二题型三题型四题型五构造等差数列求通项公式【例5】

数列{an}的各项均为正数,且满足a1=1,求an.分析:利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.反思应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式.构造等差数列的方法一般有:平方法、开平方法、倒数法等.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】

在数列{an}中,a1=1,an+1=,求an.题型四题型五题型一题型二题型三易错辨析易错点1:忽视公差取值的多样性而致误【例6】

已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.错解:因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c.又a+b+c=15,所以3b=15,所以b=5.不妨设a=5-d,c=5+d.由题可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),所以2lg

4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1).所以16=25-(d-1)2.所以(d-1)2=9,即d-1=3.所以d=4,所以a,b,c分别为1,5,9.题型四题型五题型一题型二题型三错因分析:解方程(d-1)2=9时,d-1应取±3.而错解只取d-1=3,漏掉了d-1=-3的情况.正解:因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c.又a+b+c=15,所以3b=15.所以b=5.不妨设a=5-d,c=5+d.由题可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),所以2lg

4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1).所以16=25-(d-1)2,即(d-1)2=9.所以d-1=±3,即d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.题型四题型五题型一题型二题型三易错点2:错误理解两数列的相同项而致误【例7】

已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?错解:已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为an=3n+2,bn=4n-1(1≤n≤100).令an=bn,得3n+2=4n-1,即n=3.所以两数列只有1个数值相同的项,即第3项.错因分析:本题中所说的数值相同的项,它们的项的序号并不一定相同.例如23在数列{an}中是第7项,而在数列{bn}中是第6项,我们也说它是两个数列中数值相同的项,也就是说,在这里我们只看这个数在两个数列中有没有都出现过,而并不关心它是这两个数列中的第几项.题型四题型五题型一题型二题型三正解:因为an=3n+2(n∈N+),bk=4k-1(k∈N+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,所以n=k-1.而n∈N+,k∈N+,所以可设k=3r(r∈N+),得n=4r-1.可得1≤r≤25.所以共有25个相同数值的项.1234