2026版高考数学复习专题突破：4.4 正余弦定理（精练）（题组版）（原卷版）

4.4正余弦定理（精练题组版）

题组一边角互换

AB

1．（2025·安徽·模拟预测）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3asincsinA，则（）

2

π

A．CB．c2a2b2ab

6

5π

C．CD．c2a2b2ab

6

2.（24-25浙江·期中）已知锐角ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

c2sinAsinB3sinC3bsinBasinA，A=

3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3asinCacosCcb

则A=

3c

4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sinBtanAcosB.

a

角A=

BBB

5.（2025·北京）在ABC中，23cos22sincos3，则B=

222

题组二判断三角形的形状

b2tanB

1．（2025广东广州·期中）在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则ABC的形状是（）

c2tanC

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

2Abc

2．（2025重庆·阶段练习）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若cos，则ABC的

22c

形状为（）

A．正三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

2ACa

3．（2025·甘肃酒泉·三模）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin()1，则ABC

2c

的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．直角或钝角三角形D．钝角三角形

4．（2025·安徽）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若acosAbcosAC0，则ABC为（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

5．（广东期中）在中，a,b,c分别是内角的对边，若3222（其中S表

24-25·ABCA,B,CSABCabcABC

4

ABAC

示ABC的面积），且BC0，则ABC的形状是（）

sinCsinB

A．有一个角是30°的等腰三角形B．等腰直角三角形

C．有一个角是30°的直角三角形D．等边三角形

6．（2025·湖南·一模）（多选）ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“ABC是直角三角形”

的充分条件是（）

A．sinAcosBB．acosBcC．acosAbcosBD．sin2Asin2Bsin2C

7．（2024·江西·模拟预测）（多选）设ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列条件能判定ABC是等腰

三角形的是（）

A．acosAbcosBB．asinBbsinC

C．cos(AC)cosBD．c2acosB

8．（2025山东临沂·阶段练习）（多选）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正

确的是（）

A．若acosAbcosB，则ABC一定是等腰三角形

B．若cos(AB)cos(BC)1，则ABC一定是等边三角形

C．若acosCccosAc，则ABC一定是等腰三角形

D．若cos(2BC)cosC0，则ABC一定是钝角三角形

题组三三角形的外接圆

24

1．（2024·四川·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosAcosBC，且bc，

33

则ABC的外接圆的周长为．

2

2．（2024·辽宁·一模）在ABC中，BC26，SABAC，则ABC外接圆半径为.

△ABC2

2π

3．（2025·陕西·三模）在圆内接梯形ABCD中，AB//CD，ADC，BC2，CD1，则其外接圆的半径

3

为

4．（2024·山西晋城·一模）在ABC中，AB33，AC53，BC73．

(1)求A的大小；

(2)求ABC外接圆的半径与内切圆的半径．

BC

5．（2025海南）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，csinasinC.

2

(1)求A的值；

π

(2)若C,b2，求ABC外接圆的半径.

4

6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

2acsinAsinCb(sinC2sinB）.

(1)求sinA的值；

(2)若bc6，且ABC的面积为15，求ABC外接圆的面积.

题组四三角形的面积公式

1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A105，B45，b2，

则ABC的面积为（）

6231

A．62B．C．31D．

22

2．（2025·云南·模拟预测）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinBbcsinCasinA．

(1)求A；

(2)若a7，bc8，求ABC的面积．

3

3．（2025·辽宁·三模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若26b227ab20a20,sinA,c1.

5

(1)求cosB；

(2)求ABC的面积.

4．（2024·广东河源·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

2

a2b23abbcosAacosB．

(1)求角C；

(2)若b43，c4，求ABC的面积．

题组五三角形个数的判断

π

1．（2024·湖北黄冈·一模）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A,b3，下面可使得ABC有

3

两组解的a的值为（）

33

A．B．3C．4D．e

2

1

2．（2024·宁夏银川·三模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4，sinC，若ABC有两

4

解，则c的取值可能为（）

A．3B．4C．5D．6

3．（2025河南）设在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足a3,bm,B的ABC不

6

唯一，则m的取值范围为（）

3

A．,3B．(0,3)

2

131

C．,D．,1

222

1

4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）在ABC中，sinA，AB2，BCm，则“ABC有唯一解”的充

2

分条件可以是（）

3

A．m1B．mC．m2D．m3

2

题组六正余弦定理在几何中的应用

1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBDCA45，BDC30，BCA15，

AB55，则CD的长为（）

A．53B．55C．103D．105

11

2．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD4，DC5，cosB0，cosC，cosD.

72

(1)求cosA；

(2)求四边形ABCD的面积.

3（24-25浙江杭州·阶段练习）已知ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,D是ABC外一点，若ab，

且3acosCccosA2bsinB.

(1)求角B的大小；

(2)若DA2,DC1，求四边形ABCD面积的最大值.

4．（24-25浙江金华·阶段练习）如图，在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4，c3，

B30．

(1)求sinC的值；

1

(2)若D为边BC上一点，且cosADC，求BD的长．

3

5．（23-24湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形ABCD中，AB3,AD23，C为圆周上一动点，

π

BCD.

3

(1)求四边形ABCD周长的最大值;

BC1

(2)若，求AC的长.

CD2

6．（2025广东惠州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，ACBADC90，AC23，BAC30．

(1)若CD3，求BD；

(2)若CBD30，求tanBDC．

题组七正余弦定理在实际生活中的应用

1．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包

括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳

照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天

定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高

3

度角为36.9tan36.9，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50

4

厘米，则sin36.9的值为（）

1123

A．B．C．D．

2323

2．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物

甲、乙的高，A1，B1，C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、

乙的顶点，经测量得A1B180米，CC186米，C1A1B148.60，A1C1B130，在C点测得B点的仰角为

33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为（参考数据tan33.690.667，tan51.341.250，

sin48.600.750）（）

A．268米B．265米C．266米D．267米

4．（24-25辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从A地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往

B地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往C地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，

且B地与C地相距10km，则A地与B地相距km．（参考数据：取cos75.50.25）

5．

题组八三角形中周长与面积的最值

3

1．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在ABC中，sinACsinCsinB，且BC边上的高为，则（）

2

3

A．ABC的面积有最大值，且最大值为

2

3

B．ABC的面积有最大值，且最大值为

4

3

C．ABC的面积有最小值，且最小值为

2

3

D．ABC的面积有最小值，且最小值为

4

sinB6ab

2．（2024·陕西·模拟预测）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c6,，则ABC面

sinAb

积的最大值为（）

1921

A．B．C．12D．15.

22

22

3．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角ABC中，a､b､c分别为角A､B､C所对的边，且abacc，若b3，

则ABC周长的取值范围是.

4．（2025·湖北武汉·模拟预测）在ABC中，BC8，点D是BC上的点，AD平分BAC，△ABD的面积是△ADC

的面积的3倍，当ABC的面积最大时，cosBAC.

5．（2024·河北·三模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是ABC的中线．若AD2，

2

且b2c2bcbcosCccosB，则ABC面积的最大值为．

6．（2025·上海·三模）在ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足csinCbsinBasinAsinB.

(1)求角C的值；

(2)若c3，求ABC周长的最大值.

题组九三角形的中线、角平分线与高

1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在ABC中，已知AC5,AB3,BC7,AD是BC边上的中线，则AD（）

1519715

A．B．C．D．

4227

SABD

2．（2025·湖南长沙·二模）已知ABC的面积为63，A60，AB3，B的内角平分线交边AC于点D，则

SCBD

的值为（）

3277

A．B．C．D．

7723

3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,bsinBasinBsinCbcosACcsinBcosA．

(1)求角A；

(2)若CD为ACB的平分线，且与AB交于点D,AD2,CD2，求ABC的面积．

4．（2025·重庆·三模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBbcosA．

6

(1)求A；

(2)若a7，2b3c，点D在边BC上，且BADCAD，求AD的长．

5．（2025·四川乐山·三模）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cosB3sinB2.

(1)求B；

(2)若a2，c31，ABC的角平分线交AC于D，求BD.

题组十三角形的取值范围

1．（2025·贵州毕节·二模）（多选）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a3，

absinBsinAcsinBsinC，则（）

π

A．A

6

B．ABC的周长的最大值为33

3

C．当b最大时，ABC的面积为

2

D．bc的取值范围为3,3

3

2．（2024·河北邯郸·三模）（多选）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为a2c2b2，

4

则下列说法正确的是（）

11

A．cosAcosC的取值范围是,

24

3

B．若D为边AC的中点，且BD1，则ABC的面积的最大值为

3

a1

C．若ABC是锐角三角形，则的取值范围是,2

c2

D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE3，则a4c的最小值为10

acsinAsinB

3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在ABC中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，且